Диполь

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску
Классическая электродинамика
Solenoid.svg
Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм
Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Диполь — (от ди…и греч.pólos — полюс) идеализированная система, служащая для приближенного описания распространения поля. Дипольное приближение основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора и отбрасывании всех членов выше первого порядка. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае если

  1. Размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд.
  2. Член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности.
  3. В уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя — два бесконечно близких заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.[1]

Дипольный момент системы[править | править код]

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Электрический диполь[править | править код]

Силовые линии электрического диполя

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора l \vec l , проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов q q\, , называется дипольным моментом: d = q l \vec d=q\vec l .

Во внешнем электрическом поле E \vec E на диполь действует момент сил E × d {\vec E}\times{\vec d} , который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна E d -{\vec E}\cdot{\vec d} .

Вдали от диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием R R как 1 / R 3 1/R^3 , то есть быстрее, чем у точечного заряда.

Любая электронейтральная система в некотором приближении может рассматриваться как электрический диполь с моментом d = i q i r i \vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i , где q i q_i\,  — заряд i i -го элемента, r i {\vec r}_i  — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь[править | править код]

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади S S\, , по которой течёт ток I I\, . При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину μ = I S n {\vec \mu} = I S {\vec n} , где n {\vec n}  — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

Поле колеблющегося диполя[править | править код]

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем d ( t ) , \mathbf{d}(t), находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях[править | править код]

Эволюция поля колеблющегося электрического диполя в реальном времени. Диполь находится в точке (60,60) и колеблется по вертикали с частотой 1 рад/с (~0.16 Гц)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид Missing argument for \mathbf \mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} + \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot \mathbf{d}) - \dot \mathbf{d}}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot \mathbf{d}) - \ddot \mathbf{d}}{c^2 R} Missing argument for \mathbf \mathbf{B} = \left[\frac{\dot \mathbf{d}}{R^2} + \frac{\ddot \mathbf{d}}{R c} , \mathbf{n} \right] = \left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],

где n = R R \mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}  — единичный вектор в рассматриваемом направлении, c c  — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца Z = 1 R d ( t R c ) \mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right)

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что d \mathbf{d} является функцией одной переменной. Тогда E = rot rot Z \mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z} Missing argument for \mathbf \mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot\mathbf{Z}

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде Missing argument for \mathbf \mathbf{A} = - \frac{\dot \mathbf{Z}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне)[править | править код]

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для  E \mathbf{E} и  B \mathbf{B} существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от  d \mathbf{d} , так как Missing argument for \mathbf \frac{\dot \mathbf{d}}{c} \approx \frac{d}{\lambda} Missing argument for \mathbf \frac{\ddot \mathbf{d}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}

Выражения для полей принимают вид Missing argument for \mathbf \mathbf{B} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{B} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}] Missing argument for \mathbf \mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}]

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол d o do равна d I = c H 2 4 π R 2 d o , dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 do,

поэтому для дипольного излучения Missing argument for \mathbf dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot \mathbf{d}, \mathbf{n}]^2 do = \frac{\ddot d^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} do

где θ \theta  — угол между векторами Missing argument for \mathbf \ddot\mathbf{d} и  n \mathbf{n} . Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что d o = 2 π sin  Синус  θ d θ do = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta , проинтегрируем выражение по d θ d\theta от  0 0 до  π \pi . Полное излучение равно Missing argument for \mathbf I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot\mathbf{d}}^2

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора Missing argument for \mathbf \ddot \mathbf{d} на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом: d E ω = 4 ω 4 3 c 3 | d ω | 2 d ω 2 π d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}

Литература[править | править код]

  • Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]