Натуральное число

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$.

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Определение

Аксиомы Пеано

Введём функцию $S$, которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

1. $1\in\mathbb{N}$ ($1$ является натуральным числом);
2. Если $x\in\mathbb{N}$, то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
3. $\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом);
4. Если $S(b)=a$ и $S(c)=a$, тогда $b=c$ (если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$, так и за числом $c$, то $b=c$);
5. Аксиома индукции. Пусть $P(n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $n$. Тогда:

если $P(1)$ и $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$, то $\forall n\;P(n)$

(Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ при допущении, что верно $P(n)$, верно и $P(n+1)$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$).

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• $0=\varnothing$
• $S(n)=n\cup\left\{n\right\}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

• $0=\varnothing$
• $1=\left\{\varnothing\right\}$
• $2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
• $3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют $1$ на $0$. В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел $0\notin\mathbb{N}$, а множество натуральных чисел с нулем обозначается как $\mathbb{N}_0$.

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как $\mathbb{N}$, а без нуля как $\mathbb{N}^*$.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
• Возведение в степень $a^b$, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое $-$ Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное $p$ и остаток $r$ от деления $a$ на $b$ определяются так: $a=p*b+r$, причём $0\leqslant r$. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе $a$ можно представить в виде $a=p*0+a$, то есть можно было бы считать частным $0$, а остатком = $a$.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

• $[A] + [B] = [A \sqcup B]$
• $[A] * [B] = [A \times B]$
• ${[A]}^{[B]} = [ A^B ]$

где $A \sqcup B$ — дизъюнктное объединение множеств, $A \times B$ — прямое произведение, $A ^ B$ — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
2. Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
3. Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
4. Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел $\mathbb Z$ и рациональных положительных чисел $\mathbb Q^*_+$ соответсвенно.

Натуральные числа в русском языке

• Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

• Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).

• Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).

• Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).

• Большие числа — ты́сяча, миллио́н, миллиа́рд, триллио́н.

См. также

• Целое число
• Рациональное число
• Вещественное число

Ссылки

• http://Lib.Mexmat.Ru — «Поиск книг по теме»
• http://web.archive.org/web/20070207023627/http://www.sgu.ru/ie/mehmat/matin/R1-1.htm