Оператор производной по собственному времени

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Оператор производной по собственному времени является дифференциальным оператором и релятивистским обобщением производной Лагранжа (субстанциональной производной) на четырёхмерное пространство-время. В координатной записи данный оператор записывается следующим образом: [1]   D D τ = u μ ∇ μ , ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu ,

где   D ~ D – символ дифференциала в искривлённом пространстве-времени,   τ ~ \tau – собственное время, измеряемое часами, движущимися с телом,   u μ ~ u^\mu – 4-скорость тела или элемента объёма вещества,   ∇ μ ~ \nabla_\mu – ковариантная производная.

В плоском пространстве-времени Минковского оператор производной по собственному времени упрощается, так как ковариантная производная переходит в 4-градиент (оператор дифференцирования с частными производными по координатам):   d d τ = u μ ∂ μ . ~\frac{ d } {d \tau }= u^\mu \partial_\mu .

Для доказательства данного выражения его можно применить к произвольному 4-вектору   A ν ~ A^\nu :   u μ ∂ μ A ν = c d t d τ ∂ A ν c ∂ t + d x d τ ∂ A ν ∂ x + d y d τ ∂ A ν ∂ y + d z d τ ∂ A ν ∂ z = ~ u^\mu \partial_\mu A^\nu = \frac {c{} dt}{d\tau } \frac {\partial A^\nu }{c{}\partial t } + \frac {dx}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial x } + \frac {dy}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial y } + \frac {dz}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial z } =   = d t d τ ( ∂ A ν ∂ t + d x d t ∂ A ν ∂ x + d y d t ∂ A ν ∂ y + d z d t ∂ A ν ∂ z ) = d t d τ d A ν d t = d A ν d τ . ~=\frac {dt}{d\tau } \left( \frac {\partial A^\nu }{\partial t } + \frac {dx}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial x }+ \frac {dy}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial y }+ \frac {dz}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial z }\right) =\frac {dt}{d\tau }\frac {dA^\nu }{dt }=\frac{ dA^\nu } {d \tau } .

Выше была использована производная Лагранжа в виде операторного равенства для произвольной функции   F ~ F :   d F d t = ∂ F ∂ t + V ⋅ ∇ F , ~ \frac {dF}{dt}= \frac {\partial F }{\partial t }+\mathbf{V}\cdot \nabla F,

где   V ~ \mathbf{V} есть скорость движения элемента объёма вещества,   ∇ ~ \nabla – оператор набла.

В свою очередь, производная Лагранжа вытекает из представления дифференциала функции   F ~ F от координат и времени:   d F ( t , x , y , z ) = ∂ F ∂ t d t + ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y + ∂ F ∂ z d z . ~ dF(t,x,y,z) = \frac {\partial F}{\partial t}dt + \frac {\partial F}{\partial x}dx + \frac {\partial F}{\partial y}dy + \frac {\partial F}{\partial z}dz .

Применение[править | править код]

Оператор производной по собственному времени применяется к различным четырёхмерным величинам – к скалярным функциям, 4-векторам и 4-тензорам. Одним из исключений является 4-радиус, в четырёхмерных декартовых координатах имеющий вид   x μ = ( c t , x , y , z ) = ( c t , r ) ~ x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct, \mathbf{r} ) , поскольку 4-вектором в искривлённом пространстве-времени является не 4-радиус, а его дифференциал (4-вектор сдвига)   d x μ = ( c d t , d x , d y , d z ) = ( c d t , d r ) ~ dx^\mu=(c{}dt,dx,dy,dz)=(cdt, d\mathbf{r} ) . Действие левой части оператора на 4-радиус определяет 4-скорость:   D x μ D τ = u μ ~ \frac{ D x^\mu } {D \tau }= u^\mu , но правая часть оператора 4-скорость не даёт:   u ν ∇ ν x μ ≠ u μ ~ u^\nu \nabla_\nu x^\mu \not = u^\mu .

В ковариантной теории гравитации оператор производной по собственному времени используется для определения плотности 4-силы, действующей на твёрдую точечную частицу в искривлённом пространстве-времени: [2]   f ν = D J ν D τ = u μ ∇ μ J ν = d J ν d τ + Γ μ λ ν u μ J λ , ~f^\nu = \frac{ DJ^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu J^\nu =\frac{ dJ^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu J^\lambda,

где   J ν = ρ 0 u ν ~ J^\nu = \rho_0 u^\nu есть 4-вектор плотности импульса вещества,   ρ 0 ~ \rho_0 – плотность вещества в системе его покоя,   Γ μ λ ν ~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} – символ Кристоффеля.

Однако в общем случае 4-сила определяется с помощью 4-потенциала поля ускорений: [3]   f α = ∇ β B α β = − u α k J k = ρ 0 D U α D τ − J k ∇ α U k = ρ 0 d U α d τ − J k ∂ α U k , ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,

где   B α β ~ {B_\alpha}^\beta – тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами,   u α k ~ u_{\alpha k} – тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный   ϑ ~ \vartheta и векторный   U ~ \mathbf {U} потенциалы:   U α = ( ϑ c , − U ) . ~U_\alpha = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) .

В общей теории относительности свободно падающее в гравитационном поле тело движется по геодезической линии, причём 4-ускорение тела в этом случае считается равным нулю: [4]   a ν = D u ν D τ = u μ ∇ μ u ν = d u ν d τ + Γ μ λ ν u μ u λ = 0. ~a^\nu = \frac{Du^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\frac{ du^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu_{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda=0.

Так как интервал   d s = c d τ ~ds = c d\tau , то уравнение движения тела по геодезической в общей теории относительности можно переписать в эквивалентной форме:   d d s ( d x ν d s ) + Γ μ λ ν d x μ d s d x λ d s = 0. ~ \frac{ d } {d s }\left(\frac{ dx^\nu } {d s } \right) + \Gamma^\nu_{\mu \lambda } \frac{ dx^\mu } {d s } \frac{ dx^\lambda } {d s } = 0.

Если вместо собственного времени использовать некоторый параметр   p ~p , а уравнение кривой задать выражением   x μ ( p ) ~x^\mu (p) , то может быть определён оператор производной по параметру вдоль кривой: [5]   D D p = d x μ d p ∇ μ . ~\frac{ D } {D p }= \frac {d x^\mu }{dp} \nabla_\mu .

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. ↑ Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. ↑ Fedosin S.G. The General Theory of Relativity, Metric Theory of Relativity and Covariant Theory of Gravitation: Axiomatization and Critical Analysis. International Journal of Theoretical and Applied Physics, Vol. 4, No. 1, pp. 9-26 (2014). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.890781; статья на русском языке: Общая теория относительности, метрическая теория относительности и ковариантная теория гравитации. Аксиоматизация и критический анализ.
  3. ↑ Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  4. ↑ Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. –568 с.
  5. ↑ Sean M. Carroll (2004). Spacetime and Geometry. Addison Wesley. ISBN 0-8053-8732-3.

Внешние ссылки[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Оператор_производной_по_собственному_времени&oldid=723903