Принцип суммирования энергий

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Принцип суммирования энергий произвольной системы задаёт порядок включения различных видов энергии, связанных с системой, в энергетические функции, описывающие состояние системы. Наиболее часто суммирование энергий применяется в теоретической физике, где используется принцип наименьшего действия, вычисляются полные энергии систем и учитывается закон сохранения энергии. Принцип суммирования энергий является с одной стороны методологическим принципом, а с другой стороны – следствием сложности систем, состоящих из вещества в различных состояниях, и имеющихся в данных системах полей. Сложность увеличивается за счёт движения вещества и поля, при переходах вещества из одного фазового состояния в другое, при трансформации энергий полей и вещества друг в друга. Энергетические функции имеют разный смысл в зависимости от их предназначения. Для оценки изменения полной энергии системы необходимо учитывать, что одни компоненты увеличивают энергию, а другие ей уменьшают, что приводит к разным знакам перед компонентами энергии. Если же энергетические функции используются для нахождения уравнений движения, то знаки перед компонентами энергии выбираются из условия соответствия уравнениям движения вещества и поля. В результате для каждой энергетической функции используется свой собственный порядок суммирования энергий.

Примеры[править]

Термодинамические потенциалы[править]

Для вычисления энергетических функций в термодинамике используют такие физические величины, как давление \(~P\), объём \(~V\), абсолютная температура \(~T\), теплоёмкость \(~C\), масса \(~M\), количество вещества \(~N\). Эти величины достаточно хорошо измеряются, в отличие от энтропии \(~S\), химического потенциала \(~\mu \), количества теплоты \(~Q\), которыми обладает вещество. Внутренняя энергия \(~U\) и её приращение \(~dU\) для многофазного вещества в квазистатическом процессе выражаются формулами: $$~U= \int ( T dS - P dV + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'),$$ $$~dU= \delta Q - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' ,$$

где \(~ \delta Q= T dS \) – приращение количества теплоты, \(~ \delta A= P dV \) – работа, выполняемая системой, \(~ i \) – количество фаз вещества, \(~ \delta A' \) – работа, выполняемая над системой.

Кроме внутренней энергии, в термодинамике имеются и другие связанные с ней энергетические функции, например, свободная энергия Гельмгольца: $$~ \mathcal F = U - TS.$$

Соответственно, приращение свободной энергии Гельмгольца равно: $$~d \mathcal F = - S dT - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Энтальпия и её приращение имеют вид: $$~H=U+PV,$$ $$~dH= \delta Q + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Энергия Гиббса и её приращение: $$~G=U+PV-TS,$$ $$~dG= -S dT + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Большой термодинамический потенциал и его приращение: $$~\Omega = U - TS - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d \Omega = - S dT - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Связанная энергия и её приращение: $$~E_b = U + PV - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d E_b = \delta Q +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Возможны ещё два термодинамических потенциала и их приращения: $$~P_1 = U - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d P_1 = \delta Q - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' ,$$ $$~P_2 = U - TS + PV - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d P_2 = - S dT +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Порядок сложения компонент энергии оказывается такой, чтобы получался соответствующий термодинамический потенциал, имеющий свой собственный смысл. Так, внутренняя энергия отражает закон сохранения энергии, а изменение свободной энергии Гельмгольца при изотермическом процессе определяется только разностью работы, выполняемой как системой над окружением, так и окружением над системой.

Многие соотношения термодинамики хорошо выполняются не только для газов, но и для жидкостей и вещества в твёрдом состоянии.

Функция Лагранжа[править]

Одним из путей нахождения уравнений движения систем и законов их существования является варьирование функционала действия, то есть варьирование по различным переменным интеграла по времени от функции Лагранжа, с целью определения экстремальных и наиболее вероятных состояний. Функция Лагранжа или лагранжиан \(~ \mathcal{L} \) состоит из ряда компонент энергии, которые в механике входят либо в кинетическую энергию \( ~ T\), либо в потенциальную энергию \(~ V \). Для нахождения лагранжиана в механике записывают разность кинетической и потенциальной энергий: $$ \mathcal{L} = T - V .$$ Обычно предполагается, что лагранжиан зависит только от времени, координат и скоростей, но не от более высоких производных по времени.

Так как каждая механическая система сама является источником поля, то в правую часть равенства в общем случае добавляется член, связанный с энергией этого поля. В специальной теории относительности лагранжиан одной частицы с массой \( ~ M \) и зарядом \( ~ q \) в электромагнитном поле имеет вид: [1] $$ ~\mathcal{L} = -Mc \frac {ds}{dt}-q \frac {A_\mu dx^\mu }{dt}- \frac { c \varepsilon_0}{4} \int {F_{\mu \nu} F^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$$ \(= - Mc^2 \sqrt {1-v^2/c^2} -q(\varphi- \mathbf {A \cdot v}) + \frac {\varepsilon_0}{2} \int {(E^2 -c^2 B^2)} dx^3 \),

где \(~c\) – скорость света, \( ~ds\) – интервал, \(~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{c},-\mathbf {A}\right) \) – электромагнитный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, \( ~ dx^\mu \) – 4-вектор смещения частицы, \( ~ \varepsilon_0\) – электрическая постоянная, \( ~ F_{\mu \nu} \) – тензор электромагнитного поля, \( ~ dx^4 =c dtdx^3 =c dtdx{}dy{}dz \) – элемент 4-объёма, \( ~ \mathbf {v}\) – скорость движения частицы, \( ~ \varphi \) и \( ~ \mathbf {A}\) – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно, \( ~ E \) и \( ~B\) – напряжённость электрического поля и магнитная индукция соответственно.

В данном случае в лагранжиан входят три компоненты с размерностью энергии, связанные с релятивистской энергией частицы, с энергией частицы в электромагнитном поле, и с энергией самого электромагнитного поля. Выражения для компонент энергии и знаки перед ними выбраны таким образом, чтобы в результате варьирования функционала действия получались уравнения движения частицы в поле и уравнения Максвелла для напряжённостей поля.

Аналогично записывается лагранжиан для одной частицы в гравитационном поле в лоренц-инвариантной теории гравитации: [2] $$ ~\mathcal{L} = -Mc_g \frac {ds}{dt}- M \frac {D_\mu dx^\mu }{dt}+ \frac {c_g}{16 \pi G} \int {\Phi_{\mu \nu } \Phi^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$$ \(= - Mc^2_g \sqrt {1-v^2/c^2_g} - M (\psi- \mathbf {D \cdot v}) - \frac {1}{8 \pi G} \int {(\Gamma^2 -c^2_g \Omega^2)} dx^3 \),

где \(~c_g\) – скорость гравитации, близкая по величине к скорости света, \(~ D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D}\right) \) – гравитационный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, \( ~ G \) – гравитационная постоянная, \( ~ \Phi_{\mu \nu} \) – тензор гравитационного поля, \( ~ \psi \) и \( ~ \mathbf {D}\) – скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля соответственно, \( ~ \Gamma \) и \( ~\Omega \) – напряжённость гравитационного поля и поле кручения соответственно, а масса \( ~ M \) не только учитывает сумму масс нуклонов вещества, но и вклад от массы-энергии всех полей, взаимодействующих с веществом и изменяющих величину массы частицы.

После варьирования функционала действия получаются уравнения движения частицы в гравитационном поле и максвеллоподобные гравитационные уравнения для гравитационного ускорения и поля кручения. Для того, чтобы лагранжиан можно было использовать в любых системах отсчёта, его следует записать в ковариантном виде. В искривлённом пространстве-времени интервал можно выразить через метрический тензор \( ~ g_{\mu\nu} \): $$~ds = \sqrt {g_{\mu\nu}\ dx^{\mu} \ dx^{\nu}},$$

а вместо элемента 4-объёма \( ~ dx^4 \) при интегрировании по 4-объёму следует использовать произведение \( ~ \sqrt {-g}dx^4 \), где \( ~ g \) есть детерминант метрического тензора.

Функция Гамильтона[править]

В классической механике функция Гамильтона или гамильтониан системы частиц может быть определён через лагранжиан: \(~H= \sum_i {\vec p_i} \cdot \dot {\vec q_i} - \mathcal{L} \),

где \(~\vec p_i\) — обобщённый импульс i-ой частицы, а \(~\dot {\vec q_i}\) — её обобщённая скорость.

Для консервативных систем, в которых сохраняется энергия, функция Гамильтона как функция от обобщённых координат и импульсов оказывается равной полной энергии \( ~ E \) системы и имеет следующий вид: $$~ H=E = T + V .$$

В этом случае видно, что различие между функциями Лагранжа и Гамильтона заключено в разных знаках перед потенциальной энергией \( ~ V \) системы.

Инвариантная энергия[править]

Инвариантная энергия \(~E_0\) тела определяется как релятивистская энергия, измеренная неподвижным относительно центра инерции тела наблюдателем. Стандартный подход предполагает суммирование всех видов энергии тела: $$~E_0= E_m + E_p + E_T + U +W+ E_L ,$$

где \(~E_m \) – энергия покоя отдельных частиц вещества, \(~E_p \) – энергия давления (сжатия) вещества, понимаемая как потенциальная энергия межатомных взаимодействий, \(~E_T \) – тепловая энергия, дающая в сумме с \(~E_p \) внутреннюю энергию, \(~ U \) – полная гравитационная энергия тела, включающая энергию собственного поля в веществе тела и за его пределами, и гравитационную энергию в поле от внешних источников, \(~ W \) – полная электромагнитная энергия тела, \(~ E_L \) – энергия излучения, взаимодействующего с веществом тела.

В общей теории относительности это приводит к тому, что нагретое тело должно увеличивать свою массу, а масса гравитационно-связанного тела должна быть меньше, чем суммарная масса частиц вещества, из которого образуется данное тело.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой компоненты энергии входят в равенство для инвариантной энергии с отрицательными знаками: [3] [4] [5] [6] [7] $$~E_0= E_m - E_p - E_T - U -W- E_L .$$

Как следствие, нагретые тела должны иметь меньшую массу, чем холодные, а масса звезды должна быть больше массы рассеянного вещества, из которого она образовалась в ходе гравитационного коллапса.

Третий подход связан с переосмыслением сущности и порядка суммирования энергий в ковариантной теории гравитации (КТГ). Способ вычисления инвариантной энергии существенно зависит от того, каким образом учитывается в гамильтониане скалярная кривизна и космологическая постоянная. В частности, космологическая постоянная может калиброваться таким образом, чтобы исключить скалярную кривизну и тем самым найти однозначное выражение для гамильтониана. [8] Другое нововведение заключается в том, что вместо стандартного тензора энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления в рассмотрение вводятся два новых векторных поля – поле ускорений и поле давления, с соответствующими тензорами энергии-импульса. Если добавить сюда электромагнитное и гравитационное поля, получаются 4 поля, симметрично входящие в лагранжиан и в гамильтониан. При вычислении инвариантной энергии для сферического тела в равновесии оказывается, что компоненты энергии всех четырёх полей взаимно сокращаются. Поэтому вклад в инвариантную энергию системы делают лишь потенциальные энергии частиц, находящихся под действием полей. [9] Эти энергии также частично сокращаются, и для инвариантной энергии можно записать: $$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a}.$$ Соотношение для масс выглядит следующим образом: \(~m' = M < m_ b = m_g, \)

где масса \(~ m_b\) и заряд \(~ q_b\) вычисляются интегрированием соответствующей плотности по объёму тела радиуса \(~ a \).

В КТГ масса системы \(~ M \) равна суммарной массе частиц \(~ m' \), масса \(~ m_b\) равна гравитационной массе \(~ m_g \), а превышение \(~ m_b\) над \(~ M \) происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Релятивистская энергия[править]

В отличие от инвариантной энергии, релятивистская энергия в общем случае содержит дополнительные компоненты энергии, связанные с движением системы как целого. В результате в формулах для энергии может быть определена зависимость от скорости, например от скорости движения центра инерции системы \(~v\). Если в пространстве Минковского известна инвариантная энергия \(~E_0\), то релятивистская энергия в произвольной инерциальной системе отчёта находится с помощью преобразования Лоренца по формуле: $$~E= \frac {E_0} {\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}} } .$$

Уравнения для определения метрики[править]

Уравнения Эйнштейна-Гильберта[править]

Уравнения Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности (ОТО) предназначены для поиска метрики в искривлённом пространстве-времени и записываются в тензорном виде: $$R_{\mu\nu } - {R \over 2} g_{\mu\nu } + \Lambda g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G \over c^4} T_{\mu\nu },$$

где \(~G \) — гравитационная постоянная Ньютона, \(~R_{\mu\nu }\) — тензор Риччи, \(~R \) — скалярная кривизна, \(~\Lambda\) — космологическая постоянная, а \(~T_{\mu\nu }\) представляет собой тензор энергии-импульса с размерностью объёмной плотности энергии,.

В ОТО \(~\beta=1 \) и в состав тензора \(~T_{\mu\nu }\) как правило входят тензор энергии-импульса вещества \(~ \phi_{\mu\nu }\) и тензор энергии-импульса электромагнитного поля \(~ W_{\mu\nu }\): $$~ T_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } .$$

Отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля как источника, влияющего на метрику, связано в ОТО с тем, что гравитационное поле отождествляется с геометрическим полем в виде метрического поля, причём это поле не порождает само себя (отсутствие самодействия метрического поля).

Уравнения КТГ[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) уравнения для метрики имеют следующий вид: [8] $$R_{\mu\nu } - {R \over 4} g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G \over c^4} T_{\mu\nu },$$

где коэффициент \(~\beta \) находится из уравнений движения частиц и волн в каждой заданной форме метрики, а тензор \(~T_{\mu\nu }\) является суммой четырёх тензоров: $$~ T_{\mu\nu} = B_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } + U_{\mu\nu } + P_{\mu\nu }, $$

где \(~ U_{\mu\nu } \) – тензор энергии-импульса гравитационного поля, \(~ B_{\mu\nu } \) – тензор энергии-импульса поля ускорений, и \(~ P_{\mu\nu } \) есть тензор энергии-импульса поля давления.

Это означает, что в КТГ гравитационное поле является физическим полем и наряду с электромагнитным полем, с полем ускорений и полем давления, является источником, формирующим метрику пространства-времени.

В случае непрерывно распределённого вещества для космологической постоянной получается равенство: $$~ \Lambda = {16 \pi \beta G \over c^4} (D_\kappa J^\kappa + A_\kappa j^\kappa + u_\kappa J^\kappa + \pi_\kappa J^\kappa ), $$

где \(~ J^\kappa \) и \(~ j ^\kappa \) являются массовым и электромагнитным 4-током, соответственно, \(~ u_\kappa \) и \(~ \pi_\kappa \) – 4-потенциалы поля ускорений и поля давления.

Ковариантная производная левой части уравнения для метрики в силу калибровки космологической постоянной и скалярной кривизны даёт нуль. Это позволяет записать уравнение движения вещества как равенство нулю ковариантной производной от суммы тензоров в правой части, взятых с контравариантными индексами: $$~ \nabla_\nu ( B^{\mu\nu }+ W^{\mu\nu } + U^{\mu\nu } + P^{\mu\nu } )=0 .$$

Общее поле[править]

В концепции общего поля предполагается, что компонентами этого поля являются все векторные поля, связанные с веществом. 4-потенциал общего поля \(~ s_\mu \) равен сумме 4-потенциалов частных полей. [10] В результате сумма членов в объёмной плотности лагранжиана, ответственных за энергию вещества в различных полях, с точностью до знака равна просто произведению \(~ s_\mu J^\mu \). Что касается энергии самих частных полей, то эти энергии включаются в лагранжиан через тензор общего поля \(~ s_{\mu \nu} \), получаемый как 4-ротор от 4-потенциала общего поля. Для лагранжиана получается соотношение: $$~\mathcal{L} =\int (kcR-2kc \Lambda - s_\mu J^\mu - \frac {c^2}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3,$$

где \(~k \) и \(~ \varpi \) – постоянные, подлежащие определению, \(~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3\) – инвариантный 3-объём, выражаемый через произведение \(~ dx^1 dx^2 dx^3 \) дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень \(~\sqrt {-g} \) из детерминанта \(~g \) метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Релятивистская энергия системы равна: $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, $$

где \(~ s_0 \) и \(~ J^0\) обозначают временные компоненты 4-векторов \(~ s_{\mu } \) и \(~ J^{\mu } \).

Особенностью выражения для энергии является то, что в нём энергия общего поля в тензорном произведении \(~ s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} \) включает в себя не только энергии частных полей, но и перекрёстные члены в виде суммы произведений напряжённостей частных полей в различных сочетаниях. Можно сказать, что энергия частиц в частных полях входит в энергию системы линейно, а энергия самих полей – приблизительно квадратичным образом.

Ссылки[править]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  2. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  3. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. Preprints 2017, 2017040150. http://dx.doi.org/10.20944/preprints201704.0150.v1; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела.
  4. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, 2014, Vol. 92, No. 10, P. 1074 – 1081. http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.
  5. Fedosin S.G. The Principle of Proportionality of Mass and Energy: New Version. Caspian Journal of Applied Sciences Research, 2012, Vol. 1, No. 13, P. 1 – 15; статья на русском языке: Принцип пропорциональности массы и энергии: новая версия.
  6. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 – 70. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  7. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
  8. а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  9. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  10. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]