Тензор поля давления

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тензор поля давления — антисимметричный тензор, описывающий поле давления и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля давления, и соленоидального вектора давления. С помощью тензора поля давления определяются тензор энергии-импульса поля давления, уравнения поля давления и сила давления в веществе. Поле давления является компонентой общего поля.

Определение[править | править код]

Выражение для тензора поля давления можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор: f μ ν = ∇ μ π ν − ∇ ν π μ = ∂ π ν ∂ x μ − ∂ π μ ∂ x ν . ( 1 ) f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu = \frac{\partial \pi_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \pi_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)

Здесь 4-потенциал поля давления   π μ ~ \pi_\mu определяется по формуле:   π μ = ( ℘ c , − Π ) , ~\pi_\mu = \left( \frac {\wp }{ c}, -\mathbf{\Pi } \right), где   ℘ ~\wp – скалярный потенциал,   Π ~ \mathbf{\Pi } – векторный потенциал поля давления,   c ~ c – скорость света.

Выражение для компонент[править | править код]

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля давления и соленоидальный вектор давления:   C i = c ( ∂ 0 π i − ∂ i π 0 ) , ~ C_i= c (\partial_0 \pi_i -\partial_i \pi_0),   I k = ∂ i π j − ∂ j π i , ~ I_k= \partial_i \pi_j -\partial_j \pi_i ,

и это же в векторной записи:   C = − ∇ ℘ − ∂ Π ∂ t , ~\mathbf{C}= -\nabla \wp - \frac{\partial \mathbf{\Pi }} {\partial t},   I = ∇ × Π . ~\mathbf{I }= \nabla \times \mathbf{\Pi }.

Тензор поля давления состоит из компонент данных векторов:   f μ ν = | 0 C x c C y c C z c − C x c 0 − I z I y − C y c I z 0 − I x − C z c − I y I x 0 | . ~ f_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {C_x}{ c} & \frac {C_y}{ c} & \frac {C_z}{ c} \\ -\frac {C_x}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ -\frac {C_y}{ c} & I_{z} & 0 & -I_{x} \\ -\frac {C_z}{ c}& -I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Переход к тензору поля давления с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:   f α β = g α ν g μ β f μ ν . ~ f^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} f_{\mu \nu}.

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:   f α β = | 0 − C x c − C y c − C z c C x c 0 − I z I y C y c I z 0 − I x C z c − I y I x 0 | . ~ f^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {C_{x}}{ c} & -\frac {C_{y}}{ c} & -\frac {C_{z}}{ c} \\ \frac {C_{x}}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ \frac {C_{y}}{ c}& I_{z} & 0 & -I_{x} \\ \frac {C_{z}}{ c}& -I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Для преобразования компонент тензора поля давления из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью   V ~\mathbf {V} относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля давления и соленоидальный вектор давления преобразуются так: C ′ = V V 2 ( V ⋅ C ) + 1 1 − V 2 c 2 ( C − V V 2 ( V ⋅ C ) + [ V × I ] ) , \mathbf {C}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {C}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {C}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {C}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {I }] \right), I ′ = V V 2 ( V ⋅ I ) + 1 1 − V 2 c 2 ( I − V V 2 ( V ⋅ I ) − 1 c 2 [ V × C ] ) . \mathbf {I }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {I }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {I }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {I }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {C}] \right).

Свойства тензора[править | править код]

  •   f μ ν ~ f_{\mu \nu} является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие   f μ ν = − f ν μ ~ f_{\mu \nu}= -f_{\nu \mu} . Три из шести независимых компонент тензора поля давления связаны с компонентами вектора напряжённости поля давления   C ~\mathbf{ C } , а другие три – с компонентами соленоидального вектора давления   I ~\mathbf{I } . Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль:   g μ ν f μ ν = f μ μ = 0 ~ g^{\mu \nu} f_{\mu \nu}= f^{\mu}_\mu =0 .
  • Свёртка тензора с самим собой f μ ν f μ ν f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде 1 4 ε μ ν σ ρ f μ ν f σ ρ \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} f_{\mu \nu} f_{\sigma \rho} является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:

f μ ν f μ ν = − 2 c 2 ( C 2 − c 2 I 2 ) = i n v , f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (C^2- c^2 I^2) = inv, 1 4 ε μ ν σ ρ f μ ν f σ ρ = − 2 c ( C ⋅ I ) = i n v . \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}f_{\mu \nu} f_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf C \cdot \mathbf {I} \right) = inv.

  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

det ( f μ ν ) = 4 c 2 ( C ⋅ I ) 2 . \det \left( f_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf C \cdot \mathbf {I} \right)^{2}.

Поле давления[править | править код]

Через тензор поля давления записываются уравнения поля давления: ∇ σ f μ ν + ∇ μ f ν σ + ∇ ν f σ μ = ∂ f μ ν ∂ x σ + ∂ f ν σ ∂ x μ + ∂ f σ μ ∂ x ν = 0. ( 2 ) \nabla_\sigma f_{\mu \nu}+\nabla_\mu f_{\nu \sigma}+\nabla_\nu f_{\sigma \mu}=\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial f_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial f_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)   ∇ ν f μ ν = − 4 π σ c 2 J μ , ( 3 ) ~ \nabla_\nu f^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)

где J μ = ρ 0 u μ J^\mu = \rho_{0} u^\mu есть массовый 4-ток, ρ 0 \rho_{0} – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, u μ u^\mu – 4-скорость движения элемента вещества,   σ ~ \sigma – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:   ε μ ν σ ρ ∂ f μ ν ∂ x σ = 0 . ~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля давления согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора f μ ν f_{\mu \nu} , можно получить два векторных уравнения:   ∇ × C = − ∂ I ∂ t , ( 4 ) ~ \nabla \times \mathbf{C} = - \frac{\partial \mathbf{I} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)   ∇ ⋅ I = 0 . ( 5 ) ~ \nabla \cdot \mathbf{I} = 0 . \qquad\qquad (5)

Согласно (5), соленоидальный вектор давления не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора давления приводит к появлению ротора напряжённости поля давления.

Уравнение (3) связывает поле давления с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:   ∇ ⋅ C = 4 π σ ρ , ~ \nabla \cdot \mathbf{C} = 4 \pi \sigma \rho,   ∇ × I = 1 c 2 ( 4 π σ J + ∂ C ∂ t ) , ~ \nabla \times \mathbf{I} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \sigma \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{C}} {\partial t} \right), где   ρ ~ \rho – плотность движущейся массы,   J ~ \mathbf{J} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля давления имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля давления порождают круговое поле соленоидального вектора давления.

Из (3) и (1) можно получить следующее: [1]   R μ α f μ α = 4 π σ c 2 ∇ α J α . ~ R_{ \mu \alpha } f^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \sigma }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.

Уравнение непрерывности для массового 4-тока   ∇ α J α = 0 ~ \nabla_{\alpha}J^{\alpha}=0 является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (3) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора поля давления и тензора Риччи должна равняться нулю:   R μ α f μ α = 0 ~ R_{ \mu \alpha } f^{\mu \alpha }=0 . В пространстве Минковского тензор Риччи   R μ α ~ R_{ \mu \alpha } равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:   ∂ α J α = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. ~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.

Волновое уравнение для тензора поля давления выглядит следующим образом: [2]   ∇ σ ∇ σ f μ ν = 4 π σ c 2 ∇ μ J ν − 4 π σ c 2 ∇ ν J μ + f ν ρ R ρ μ − f μ ρ R ρ ν + R μ ν , λ η f η λ . ~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma f_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \sigma }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \sigma }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + f_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - f_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } f^{\eta \lambda}.

Использование в ковариантной теории гравитации[править | править код]

Действие и Лагранжиан[править | править код]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля давления и содержится в функции действия: [1]   S = ∫ L d t = ∫ ( k R − 2 k Λ − 1 c D μ J μ + c 16 π G Φ μ ν Φ μ ν − 1 c A μ j μ − c ε 0 4 F μ ν F μ ν − ~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -   − 1 c U μ J μ − c 16 π η u μ ν u μ ν − 1 c π μ J μ − c 16 π σ f μ ν f μ ν ) − g d Σ , ~ -\frac {1}{c}U_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где   L ~L – функция Лагранжа или лагранжиан,   d t ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта,   k ~k – некоторый коэффициент,   R ~R – скалярная кривизна,   Λ ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы,   c ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий,   D μ ~ D_\mu – гравитационный 4-потенциал,   G ~ G – гравитационная постоянная,   Φ μ ν ~ \Phi_{ \mu\nu} – тензор гравитационного поля,   A μ ~ A_\mu – электромагнитный 4-потенциал,   j μ ~ j^\mu – электрический 4-ток,   ε 0 ~\varepsilon_0 – электрическая постоянная,   F μ ν ~ F_{ \mu\nu} – тензор электромагнитного поля,   U μ ~ U_\mu – 4-потенциал поля ускорений,   η ~ \eta и   σ ~ \sigma – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно,   u μ ν ~ u_{ \mu\nu} – тензор ускорений,   π μ ~ \pi_\mu – 4-потенциал поля давления,   f μ ν ~ f_{ \mu\nu} – тензор поля давления,   − g d Σ = − g c d t d x 1 d x 2 d x 3 ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты   d x 0 = c d t ~ dx^0=cdt , через произведение   d x 1 d x 2 d x 3 ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень   − g ~\sqrt {-g} из детерминанта   g ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: [2]   − u β σ ρ 0 u σ = ρ 0 d U β d τ − ρ 0 u σ ∂ β U σ = Φ β σ ρ 0 u σ + F β σ ρ 0 q u σ + f β σ ρ 0 u σ , ~ -u_{\beta \sigma} \rho_{0} u^\sigma = \rho_0 \frac{ dU_\beta } {d \tau }- \rho_0 u^\sigma \partial_\beta U_\sigma = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma ,

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда   ρ 0 q ~ \rho_{0q} , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля давления приводит к уравнению поля давления (3).

Тензор энергии-импульса поля давления[править | править код]

С помощью тензора поля давления в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля давления:   P i k = c 2 4 π σ ( − g i m f n m f n k + 1 4 g i k f m r f m r ) . ~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma }\left( -g^{im} f_{n m} f^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} f_{m r} f^{m r}\right) .

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления:   f α = − ∇ β P α β = f α k J k . ~ f^\alpha = - \nabla_\beta P^{\alpha \beta} = {f^\alpha}_{k} J^k .

Обобщённая скорость и Гамильтониан[править | править код]

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:   s μ = U μ + D μ + ρ 0 q ρ 0 A μ + π μ . ~ s_{\mu } = U_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+ \pi_{\mu} .

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля давления и имеет вид:

  H = ∫ ( s 0 J 0 − c 2 16 π G Φ μ ν Φ μ ν + c 2 ε 0 4 F μ ν F μ ν + c 2 16 π η u μ ν u μ ν + c 2 16 π σ f μ ν f μ ν ) − g d x 1 d x 2 d x 3 , ~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},

где   s 0 ~ s_0 и   J 0 ~ J^0 обозначают временные компоненты 4-векторов   s μ ~ s_{\mu } и   J μ ~ J^{\mu } .

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. ↑ а б в Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  2. ↑ а б Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

Внешние ссылки[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Тензор_поля_давления&oldid=726183