Тензор поля диссипации

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тензор поля диссипации — антисимметричный тензор, описывающий диссипацию энергии вследствие вязкости и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля диссипации, и соленоидального вектора диссипации. С помощью тензора поля диссипации определяется тензор энергии-импульса поля диссипации, уравнения поля диссипации и сила диссипации в веществе. Поле диссипации является компонентой общего поля.

Определение[править]

Выражение для тензора поля диссипации можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор: $$ h_{\mu \nu} = \nabla_\mu \lambda_\nu - \nabla_\nu \lambda_\mu = \frac{\partial \lambda_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \lambda_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1) $$

Здесь 4-потенциал поля диссипации \(~ \lambda_\mu \) определяется по формуле: $$~\lambda_\mu = \left( \frac {\varepsilon }{ c}, -\mathbf{\Theta } \right), $$ где \(~\varepsilon \) – скалярный потенциал, \(~ \mathbf{\Theta } \) – векторный потенциал поля диссипации, \(~ c\) – скорость света.

Выражение для компонент[править]

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации: $$ ~ X_i= c (\partial_0 \lambda_i -\partial_i \lambda_0), $$ $$ ~ Y_k= \partial_i \lambda_j -\partial_j \lambda_i ,$$

и это же в векторной записи: $$ ~\mathbf{X}= -\nabla \varepsilon - \frac{\partial \mathbf{\Theta}} {\partial t}, $$ $$ ~\mathbf{Y }= \nabla \times \mathbf{\Theta }. $$

Тензор поля диссипации состоит из компонент данных векторов: $$ ~ h_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {X_x}{ c} & \frac {X_y}{ c} & \frac {X_z}{ c} \\ -\frac {X_x}{ c} & 0 & - Y_{z} & Y_{y} \\ -\frac {X_y}{ c} & Y_{z} & 0 & -Y_{x} \\ -\frac {X_z}{ c}& -Y_{y} & Y_{x} & 0 \end{vmatrix}. $$

Переход к тензору поля диссипации с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор: $$~ h^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} h_{\mu \nu}.$$

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид: $$ ~ h^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {X_{x}}{ c} & -\frac {X_{y}}{ c} & -\frac {X_{z}}{ c} \\ \frac {X_{x}}{ c} & 0 & - Y_{z} & Y_{y} \\ \frac {X_{y}}{ c}& Y_{z} & 0 & -Y_{x} \\ \frac {X_{z}}{ c}& -Y_{y} & Y_{x} & 0 \end{vmatrix}. $$

Для преобразования компонент тензора поля диссипации из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью \(~\mathbf {V} \) относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации преобразуются так: $$ \mathbf {X}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {X}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {X}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {X}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {Y }] \right), $$ $$ \mathbf {Y }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {Y }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {Y }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {Y }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {X}] \right). $$

Свойства тензора[править]

  • \(~ h_{\mu \nu}\) является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие \(~ h_{\mu \nu}= -h_{\nu \mu}\). Три из шести независимых компонент тензора поля диссипации связаны с компонентами вектора напряжённости поля диссипации \(~\mathbf{ X }\), а другие три – с компонентами соленоидального вектора диссипации \( ~\mathbf{Y }\). Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: \(~ g^{\mu \nu} h_{\mu \nu}= h^{\mu}_\mu =0\).
  • Свёртка тензора с самим собой \( h_{\mu \nu} h^{\mu \nu}\) является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде \( \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} h_{\mu \nu} h_{\sigma \rho}\) является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:

$$ h_{\mu \nu} h^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (X^2- c^2 Y^2) = inv,$$ $$ \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}h_{\mu \nu} h_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf X \cdot \mathbf {Y} \right) = inv.$$

  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$$ \det \left( h_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf X \cdot \mathbf {Y} \right)^{2}. $$

Поле диссипации[править]

Через тензор поля диссипации записываются уравнения поля диссипации: $$ \nabla_\sigma h_{\mu \nu}+\nabla_\mu h_{\nu \sigma}+\nabla_\nu h_{\sigma \mu}=\frac{\partial h_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial h_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial h_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2) $$ $$~ \nabla_\nu h^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \tau }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)$$

где \(J^\mu = \rho_{0} u^\mu \) есть массовый 4-ток, \( \rho_{0}\) – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, \( u^\mu \) – 4-скорость движения элемента вещества, \(~ \tau \) – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение: $$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial h_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 . $$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля диссипации согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора \( h_{\mu \nu} \), можно получить два векторных уравнения: $$~ \nabla \times \mathbf{X} = - \frac{\partial \mathbf{Y} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)$$ $$~ \nabla \cdot \mathbf{Y} = 0 . \qquad\qquad (5)$$

Согласно (5), соленоидальный вектор диссипации не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора диссипации приводит к появлению ротора напряжённости поля диссипации.

Уравнение (3) связывает поле диссипации с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим: $$~ \nabla \cdot \mathbf{X} = 4 \pi \tau \rho, $$ $$~ \nabla \times \mathbf{Y} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \tau \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{X}} {\partial t} \right), $$ где \(~ \rho \) – плотность движущейся массы, \(~ \mathbf{J}\) – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля диссипации имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля диссипации порождают круговое поле соленоидального вектора диссипации.

Из (3) и (1) можно получить уравнение непрерывности: $$~ R_{ \mu \alpha } h^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \tau }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Это уравнение означает, что благодаря искривлению пространства-времени, когда тензор Риччи \( R_{ \mu \alpha }\) не равен нулю, источником дивергенции массового 4-тока является среди прочих и тензор поля диссипации \(~ h^{\mu \alpha }\). Если же пространство-время плоское, как в пространстве Минковского, левая часть уравнения обнуляется, ковариантная производная становится 4-градиентом и остаётся следующее: $$ ~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0. $$

Использование в ковариантной теории гравитации[править]

Действие и Лагранжиан[править]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля диссипации и содержится в функции действия: [1] $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$$ $$~ -\frac {1}{c}u_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} - \frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} - \frac {1}{c} \lambda_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \tau } h_{ \mu\nu}h^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где \(~L \) – функция Лагранжа или лагранжиан, \(~dt \) – дифференциал времени используемой системы отсчёта, \(~k \) – некоторый коэффициент, \(~R \) – скалярная кривизна, \(~\Lambda \) – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, \(~c \) – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, \(~ D_\mu \) – гравитационный 4-потенциал, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ \Phi_{ \mu\nu}\) – тензор гравитационного поля, \(~ A_\mu \) – электромагнитный 4-потенциал, \(~ j^\mu \) – зарядовый 4-ток, \(~\varepsilon_0 \) – электрическая постоянная, \(~ F_{ \mu\nu}\) – тензор электромагнитного поля, \(~ u_\mu \) – ковариантная 4-скорость, \(~ \eta \), \(~ \sigma \) и \(~ \tau \) – постоянные, подлежащие определению, \( ~ u_{ \mu\nu}\) – тензор ускорений, \(~ \pi_\mu \) – 4-потенциал поля давления, \( ~ f_{ \mu\nu}\) – тензор поля давления, \(~ \lambda_\mu \) – 4-потенциал поля диссипации, \( ~ h_{ \mu\nu}\) – тензор поля диссипации, \(~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3\) – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты \(~ dx^0=cdt \), через произведение \(~ dx^1 dx^2 dx^3 \) дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень \(~\sqrt {-g} \) из детерминанта \(~g \) метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях, в поле давления и в поле диссипации: $$~ \rho_0 a_\beta = \rho_0 \frac {Du_\beta}{D \tau} = \rho_0 u^k \nabla_k u_\beta = \rho_0 \frac{ du_\beta } {d \tau }- \rho_0 \Gamma^s_{k \beta } u^k u_s = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + h_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma, $$

где \(~ a_\beta \) – 4-ускорение с ковариантным индексом, использован оператор производной по собственному времени \(~ \tau\), первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда \(~ \rho_{0q} \), измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последние два члена определяют силу давления и диссипации соответственно.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля диссипации приводит к уравнению поля диссипации (3).

Тензор энергии-импульса поля диссипации[править]

С помощью тензора поля диссипации в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля диссипации: $$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau }\left( -g^{im} h_{n m} h^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} h_{m r} h^{m r}\right) .$$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность 4-силы диссипации: $$ ~ f^\alpha = - \nabla_\beta Q^{\alpha \beta} = h^{ \alpha}_{k} J^k . $$

Обобщённая скорость и Гамильтониан[править]

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением: $$~ s_{\mu } = u_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu } + \pi_{\mu}+ \lambda_{\mu} . $$

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля диссипации и имеет вид:

\(~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} + \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \tau } h_{ \mu\nu} h^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, \)

где \(~ s_0 \) и \(~ J^0\) обозначают временные компоненты 4-векторов \(~ s_{\mu } \) и \(~ J^{\mu } \).

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

Внешние ссылки[править]