Тензор энергии-импульса поля диссипации

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля диссипации — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля диссипации в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики, наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля давления, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность силы диссипации, действующей в веществе и тормозящей движение потоков вещества друг относительно друга.

Тензор энергии-импульса поля диссипации является релятивистским обобщением трёхмерного тензора вязких напряжений, используемого в гидродинамике.

Гидродинамика[править]

Для релятивистского описания уравнения движения вязкой и теплопроводной среды в книге [1] используется четырёхмерный тензор вязких напряжений: $$~ \tau_{ik} = - \eta \left( \frac {\partial u_i} {\partial x^k}+ \frac {\partial u_k} {\partial x^i}- \frac{1} {c^2 }u_k u^n \frac {\partial u_i} {\partial x^n} - \frac{1} {c^2 }u_i u^n \frac {\partial u_k} {\partial x^n} \right) - \left( \xi- \frac {2}{3}\eta \right) \frac {\partial u_n} {\partial x^n} \left( g_{ik}- \frac{1} {c^2 }u_i u_k \right), $$

где \(~ \eta \) – коэффициент динамической вязкости, \(~ u^i \) – 4-скорость с контравариантным индексом, \(~ u_k \) – 4-скорость с ковариантным индексом, \(~ \xi \) – коэффициент второй (объёмной) вязкости, \(~ g_{ik} \) – метрический тензор, \(~ c \) – скорость света.

Вид тензора находится из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Данный тензор определяется таким образом, что в системе отсчёта, в которой движущийся элемент вещества покоится, компоненты тензора \(~ \tau_{00}\) и \(~ \tau_{0i }\) обнуляются. Это означает, что энергия элемента вещества в сопутствующей системе отсчёта должна вычисляться через другие физические переменные, не связанные с вязкостью, как в случае отсутствия диссипативных процессов. В результате на тензор накладывается условие: $$~ \tau_{ik} u^k =0. $$

Тензор \(~ \tau_{ik} \) включатся в состав тензора энергии-импульса вещества с давлением \(~ p \) и учитывает в нём вязкость: $$~ T_{ik} = p g_{ik}+ w u_i u_k +\tau_{ik} ,$$ здесь \(~ w = e+p \), \(~ e \) – собственная плотность энергии вещества без учёта давления.

Уравнение движения вещества с давлением и вязкостью получается из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса вещества: $$~ \frac {\partial T^k_i} {\partial x^k}=0.$$

Существенным недостатком тензора \(~ \tau_{ik} \) является то, что он не выводится из принципа наименьшего действия и потому не может использоваться, например, для вычисления метрики в системе. Кроме этого, в общем случае компоненты тензора \(~ \tau_{00}\) и \(~ \tau_{0i }\) не могут обнуляться в сопутствующей системе отсчёта, поскольку при этом окружающая среда движется относительно рассматриваемого элемента вещества и процесс диссипации энергии не прекращается.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле диссипации считается 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент, и является компонентой общего поля. В КТГ тензор энергии-импульса поля диссипации определяется через тензор поля диссипации \( ~h_{ik}\) и метрический тензор \(~ g^{ik}\) из принципа наименьшего действия: [2] $$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau } \left( - g^{im} h_{nm} h^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}h_{mr}h^{mr}\right) ,$$

где \(~ \tau \) – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что \(~ \tau \) не определена однозначно, является следствием того факта, что диссипация энергии внутри жидких сред может быть вызвана действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера.

Компоненты тензора энергии-импульса поля диссипации[править]

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор \(~ g^{ik}\) переходит в тензор \(~ \eta^{ik}\), состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля диссипации существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля диссипации, то есть через напряжённость поля диссипации \( ~\mathbf{ X}\) и соленоидальный вектор \( ~\mathbf{Y}\) : $$~ Q^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_d & \frac {Z_x}{c} & \frac {Z_y}{c} & \frac {Z_z}{c} \\ c P_{dx} & \varepsilon_d - \frac{X^2_x+c^2 Y^2_x}{4\pi \tau } & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dy} & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_y+c^2 Y^2_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dz} & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_z+c^2 Y^2_z }{4\pi\tau } \end{vmatrix}. $$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля диссипации $$~ Q^{00} = \varepsilon_d = \frac{1}{8 \pi \tau }\left(X^2+ c^2 Y^2 \right).$$

2) вектор плотности импульса поля диссипации \( ~\mathbf{P_d} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{Z}, \) где вектор плотности потока энергии поля диссипации: $$~\mathbf{Z} = \frac{ c^2 }{4 \pi \tau }[\mathbf{X}\times \mathbf{Y}].$$

Компоненты вектора \(~\mathbf{Z} \) входят в соответствующие компоненты тензора \( Q^{01}, Q^{02}, Q^{03}\), а компоненты вектора \(~\mathbf{P_d} \) – в компоненты тензора \( Q^{10}, Q^{20}, Q^{30}\), при этом вследствие симметрии тензора по индексам \( Q^{01}= Q^{10}, Q^{02}= Q^{20}, Q^{03}= Q^{30}\).

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля диссипации, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде: $$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \tau } \left( X^p X^q + c^2 Y^p Y^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (X^2 + c^2 Y^2 ) \right) ,$$

где \(p,q =1,2,3, \) компоненты \(X^1=X_x, \) \(X^2=X_y, \) \(X^3=X_z, \) \( Y^1=Y_x, \) \(Y^2=Y_y, \) \(Y^3=Y_z, \) символ Кронекера \(\delta^{pq}\) равен 1 при \(p=q, \) и равен нулю при \(p \not=q. \)

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля диссипации связывает плотность силы диссипации и скорость изменения плотности импульса поля диссипации: $$~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial Z^p}{\partial t}, $$ где \(~ f^p \) обозначают компоненты трёхмерной плотности силы диссипации, \(~ Z^p \) – компоненты вектора плотности потока энергии поля диссипации.

Cила диссипации и уравнения поля диссипации[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы диссипации \(~ f^\alpha \) может быть найден через тензор энергии-импульса поля диссипации, либо через произведение тензора поля диссипации и массового 4-тока: $$~ f^\alpha = -\nabla_\beta Q^{\alpha \beta} = {h^\alpha}_{i} J^i . \qquad (1) $$

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля диссипации: $$~ \nabla_n h_{ik} + \nabla_i h_{kn} + \nabla_k h_{ni}=0, $$ $$~\nabla_k h^{ik} = -\frac {4 \pi \tau }{c^2} J^i .$$

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы диссипации можно записать: $$~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{X} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),$$ где \(~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{X} + [\mathbf{J} \times \mathbf{Y} ]\) – 3-вектор плотности силы диссипации, \(~\rho\) – плотность движущегося вещества, \(~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} \) – 3-вектор плотности массового тока, \(~\mathbf{v} \) – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля диссипации преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля диссипации \( ~\mathbf{ X}\) и соленоидального вектора \( ~\mathbf{Y}\) : $$~\nabla \cdot \mathbf{ X} = 4 \pi \tau \rho,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ Y} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ X}}{\partial t}+\frac {4 \pi \tau \rho \mathbf{ v}}{c^2},$$ $$~\nabla \cdot \mathbf{ Y} = 0,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ X} = - \frac{\partial \mathbf{ Y}}{\partial t}.$$

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля диссипации в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: $$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} + Q_{ik} \right), $$

где \(~ \beta \) – коэффициент, подлежащий определению, \(~ B_{ik}\), \(~ P_{ik}\), \(~ U_{ik}\), \(~ W_{ik}\), \(~ Q_{ik}\) – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, поля диссипации, \(~ G \) – гравитационная постоянная.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса диссипации \( Q^{ik}\) или тензора поля диссипации \( h_{nk}\) : $$~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik}+ Q^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k + h_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)$$

где \( ~ u_{nk}\) – тензор ускорений, \( ~ \Phi_{nk}\) – тензор гравитационного поля, \( ~F_{nk}\) – тензор электромагнитного поля, \( ~ f_{nk}\) – тензор поля давления, \( ~ h_{nk}\) – тензор поля диссипации, \(~j^k = \rho_{0q} u^k \) – зарядовый 4-ток, \(~\rho_{0q}\) – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, \(~ u^k \) – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при \(~ i=0\) описывает изменение энергии, а пространственная компонента при \(~ i=1{,}2{,}3\) связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [3] $$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P} + \mathbf{F}+ \mathbf{Z} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00} +P^{00}+Q^{00} )}{\partial t},$$

где \(~ \mathbf{K}\) – вектор плотности потока энергии поля ускорений, \(~ \mathbf{H}\) – вектор Хевисайда, \(~ \mathbf{P}\) – вектор Пойнтинга, \(~ \mathbf{F}\) – вектор плотности потока энергии поля давления, \(~ \mathbf{ Z}\) – вектор плотности потока энергии поля диссипации.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммы тензорных компонент с плотностью энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: $$~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0} +P^{i0} + Q^{i0} \right) dV }. $$

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

Внешние ссылки[править]