Троичная логика

Троичная логика (трёхзначная логика) — один из видов многозначной логики, использующий три истинностных значения:

• 1 — истина
• 0 — неизвестно
• 1 — ложь

Если не использовать значение «неизвестно», троичная логика сводится к обычной двоичной логике.

Примером представления чисел в троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

десятичное число	0	1	2	3	4	5	10
троичное число	0	1	11	10	11	111	101

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц.

Логические операции

Логическое умножение

В роли связки и употребляется знак конъюнкции (совместности) ∧ , который, подобно знаку умножения в числовой алгебре, обычно умалчивают (опускают) — вместо x ∧ y пишут xy. Нередко конъюнкцию называют логическим умножением, хотя как раз умножения в ней нет — в отличие от умножения x * x $\equiv x^2$ она идемпотентна: x ∧ x $\equiv$ x. Впрочем, следуя Булю, можно рассматривать ее как умножение чисел, допускающих только два значения: 1 — «дано», 0 — «исключено».

Вычисляется min(x, y); x ∧ y:

1-й сомножитель	0	1	0	1	0	1	1	1	1
2-й сомножитель	0	0	1	0	1	1	1	1	1
Произведение	0	0	0	1	1	1	1	1	1

Логическое сложение

Знак ∨ символизирует дизъюнкцию — взаимосвязь, двойственную конъюнкции, в русском языке представленную союзом или. Двойственность понимается в том смысле, что произвольное выражение булевой алгебры, если в нем заменить конъюнкции дизъюнкциями, а дизъюнкции конъюнкциями, будет представлять ту же взаимосвязь при условии, что значение 1 истолковывается как 0, а значение 0 — как 1. Так, xy = 1 означает совмещение двух: x = 1 и y = 1, а x ∨ y = 0 соответственно x = 0 и y = 0, то есть конъюнкция отображает совместность единиц, а дизъюнкция — совместность нулей. С другой стороны, при x ∨y =1 термины x, y несоисключимы, не могут вместе принять значение 0, а при xy = 0 они несовместимы, исключена совместность 1.

Вычисляется max(x, y); x ∨ y:

1-е слагаемое	0	1	0	1	0	1	1	1	1
2-е слагаемое	0	0	1	0	1	1	1	1	1
Сумма	0	1	1	1	1	0	0	1	1
Перенос	0	0	0	0	0	0	0	1	1

Логическое отрицание

В булевой алгебре вместо не-x пишут ¬x, либо надчеркнутое $\bar x$, либо x' Применительно к несоставному, не детализируемому в рамках проводимого рассмотрения, термину эти символы тождественны друг другу, синонимы. Однако в общем случае, когда буква обозначает произвольное булево выражение, их следует различать либо вводить какие-то иные знаки для представления возникающего многообразия взаимосвязей. Условимся, что постфикс ' обозначает инверсию выражения, префикс ¬ — дополнение в универсуме терминов-критериев, а надчеркивание употреблять не будем.

Применительно к двучленной конъюнкции $xy$ это значит:

$\begin{matrix} (xy)' \equiv x'y' \\ \lnot(xy) \equiv x' \wedge y' \end{matrix}$

Вычисляется x':

инвертируемое	0	1	1
инверсия	0	1	1

Заметим, что дополнение булева выражения двойственно его инверсии: в приведенном примере дополнительное выражение x' ∨ y' отличается от инверсного x' ∧ y' тем, что в нем заменен двойственным (перевернут, «инвертирован») знак ∧. Взаимосвязь операций инверсии, дополнения и получения двойственного («дуалирования») $\delta$ ($\delta\iota\pi\lambda o \eta$ — двойственное) булева выражения e представима тождествами:

$e' \equiv \delta (\lnot e) \equiv \lnot (\delta e),\,\, \lnot e \equiv \delta (e') \equiv (\delta e)',\,\, \delta e \equiv \lnot (e') \equiv (\lnot e)'$

Странно, что это фундаментальное соотношение выявлено не логиками и не математиками, а психологом Жаном Пиаже. Впрочем, не странно, ибо логики и математики приучены к булевой алгебре с единственной одноместной операцией отрицания-дополнения, которую иногда называют также инверсией, либо полагают, что инверсия — операция не булева, а теоретико-множественная, множественное дополнение.

Импликация

Импликация - (от лат. implicatio - сплетение, от implico — тесно связываю) -- логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если ..., то ...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказыва­ние, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) - выска­зывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в науч­ных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающих­ся своими формальными свойствами:

• материальная
• Лукасевича
• Гейтинга
• Троичная функция следования (Брусенцова)

Импликация материальная

Материальная импликация — одна из основных связок классической логики. Определяется она т.о.: Импликация ложна только в случае истинности основание(антецедента) и ложности следствия(консеквента) и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если x, то y» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в x и y; выражение «x материально имплицирует y» такой связи не предполагает.

Вычисляется импликация материальная max(−x, y); $x \rightarrow y$; x' ∨ y :

1-е высказывание (x)	0	0	0	1	1	1	1	1	1
2-е высказывание (y)	0	1	1	0	1	1	0	1	1
Импликация	0	1	0	0	1	1	1	1	1

или

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  0  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Импликация Лукасевича

Это часть модальной логики.

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 0  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Импликация Гейтинга

Это часть многозначной логики. Логика Гейтинга охватывала лишь часть классической формальной логики.

Имп­ликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q. Например, из истинности высказывания p следует: неверно, что p ложно. Но из утверждения "неверно, что p ложно" еще не следует, что p истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.

   x
   ^
   |
 1 | 1  0  1
 0 | 1  1  1
 1 | 1  1  1
---+----------> y
   | 1  0  1

Троичная функция следования (Брусенцова)

Вычисляется $x \rightarrow y$:

1-е высказывание (x)	0	0	0	1	1	1	1	1	1
2-е высказывание (y)	0	1	1	0	1	1	0	1	1
Импликация	0	0	0	0	1	1	0	0	1

или

   x
   ^
   |
 1 |  1  0  1
 0 |  0  0  0
 1 |  1  0  0
---+----------> y
   |  1  0  1

Троичный сумматор

Полное троичное логическое сложение с переносом.
Полный троичный одноразрядный сумматор является неполной тринарной троичной логической функцией, так как в разряде переноса только два значения 0 и 1. В отличие от предыдущих троичных тринарных функций с одноразрядным (однотритным) результатом, результат имеет длину 1 и 2/3 троичных разряда (трита).

Перенос из n-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1-е слагаемое	0	0	0	1	1	1	2	2	2	0	0	0	1	1	1	2	2	2
2-е слагаемое	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2
Сумма по модулю 3	0	1	2	1	2	0	2	0	1	1	2	0	2	0	1	0	1	2
Перенос в n+1	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	1	0	1	1	1	1	1

В разряде переноса не бывает третьего значения трита (2), так как в "худшем" случае $2_{10}+2_{10}+1_{10}=5_{10}=12_3$, т.е. в старшем разряде "1". Единица переноса возникает в 9-ти случаях из 18.
Как в двоичной логике двоичный тринарный полный сумматор заменяется двумя бинарными полусумматорами, так и в троичной логике троичный тринарный полный сумматор можно заменить на два троичных бинарных полусумматора, только с той разницей, что два двоичных бинарных полусумматора одинаковые, а два троичных бинарных полусумматора разные - один полный бинарный (с двумя полными тритами), а второй - не полный бинарный (один трит полный, а второй неполный - 2/3 от полного трита), так как в разряде переноса не бывает значений больших чем "1".

... и много (7 625 597 484 987 - 19 683 - 27 - 3 = 7 625 597 465 274) других троичных тринарных функций...

Применение троичной логики

Джордж Буль изобрел «математику мысли», устранив из числовой математики все значения, кроме 0 и 1, интерпретируемых как «нет» и «есть», либо «исключено» и «дано», либо «ложь» и «истина». Такую систему называют двузначной, что не представляется верным, ибо двузначность — синоним двусмысленности. Корректней назвать ее двухзначной системой, двухзначной логикой. Но это только поверхностное, «косметическое» уточнение, а по существу проблема двухзначности несравненно глубже, фундаментальней. Противопоставленный стоиками аристотелеву Органону хрисиппов принцип двухзначности в его «классической» трактовке (либо истина, либо ложь и ничего третьего) радикально отделил формальную логику, и традиционную, и математическую, от диалектики.

Впрочем, основоположник математической логики Буль, не в пример современным представителям этой науки, сосредоточившим все внимание на проблеме двухзначного (дихотомического) вывода, считал важнейшей ее задачей решение логических уравнений, чем и оправдывалось название «математическая». Решение этой обратной задачи, предпринятое самим Булем, показало, что удовлетворяющим логическому уравнению значением термина может быть не только 1 либо 0, но и нечто третье — «неопределенность», которую Буль обозначал буквой u $(u \equiv 0/0)$. В дальнейшем выяснилось, что в зависимости от условий, определяемых значениями прочих входящих в уравнение терминов, для искомого термина x имеется четыре альтернативы:

• 1) x = 0,
• 2) x = 1,
• 3) x свободно, не фиксировано (у Аристотеля — $\sigma\upsilon\mu\beta\varepsilon\beta\eta\kappa o \zeta$ — «привходяще»),
• 4) решение не существует.

Например, решение относительно термина y уравнения xy = 0, как нетрудно проверить, таково:

• при x = 0 значение y привходяще,
• при x = 1 y = 0.

Решение уравнения x ∨ y = 0, то есть x’y' = 1,

• при x = 1 не существует,
• при x = 0 y = 0.

История троичной логики

По Аристотелю конъюнкция не-утверждения и не-антиутверждения («не быть благом и не быть не благом») составляет третье, среднее, промежуточное между утверждением и антиутверждением — $\sigma\upsilon\mu\beta\varepsilon\beta\eta\kappa o \zeta$(привходящее). Хрисипп же «упростил» логику, изъяв это третье, а вместе с ним адекватность реальности и здравому смыслу. У него дискретная дихотомия — «да»/«нет», поэтому? $\alpha\pi o\varphi\alpha\sigma\iota\zeta \equiv \alpha\nu\tau\iota\varphi\alpha\sigma\iota\zeta$, «не быть благом» $\equiv$ «быть не благом».

Это мир «рыцарей» и «лжецов» из «занимательной логики»: «рыцарь» никогда не лжет, «лжец» лжет всегда; если некто не «рыцарь», то он «лжец», а если не «лжец», то «рыцарь»??? все четко и просто, но не так, как в действительности. Поразительна живучесть хрисипповой «простоты». На протяжении двух с лишним тысячелетий имели место лишь единичные попытки преодолеть роковую ограниченность (Раймонд Лулий, Уильям Оккам, Ян Коменский, Лейбниц, Гегель, Льюис Кэррол).

Двадцатый век ознаменован прогрессирующим нарастанием протеста против двухзначности: отвержение интуиционистской математикой закона исключенного третьего, попытки Льюиса, а затем Аккермана преодолеть «парадоксы» материальной импликации, изобретение Лукасевичем трехзначной логики, предположение Рейхенбаха о трехзначности логики микромира (квантовой механики), общее усиление активности в области многозначных логик, наконец, нечёткие множества Заде, справедливо квалифицируемые «как вызов, брошенный европейской культуре с ее дихотомическим видением мира в жестко разграничиваемой системе понятий». Однако все это пока как бы некий «модерн», не достигающий преследуемых целей, да и сами цели еще далеко не осознаны. Хрисиппова же «классика» обрела второе дыхание в исчислениях математической логики, в двоичной цифровой технике, и с позиций ее столь же непросто постичь недвухзначное, как, скажем, обитателям двухмерного мира представить себе мир трехмерный.

Файл:Логический квадрат.gif

«логический квадрат»

Показателен пример Яна Лукасевича, который, связывая создание им трехзначной логики «с борьбой за освобождение человеческого духа», затем (надо полагать, в продолжение этой борьбы) в своей неординарной книге «Аристотелева силлогистика с точки зрения современной формальной логики» устанавливает «ошибочность» положений трехзначной логики Аристотеля, формально «верифицируя» их в двухзначном исчислении высказываний. Впрочем, его попытки формализации модальностей средствами трех- и четырехзначного исчислений также не достигли цели. Он обратился к многозначности, осознав, что «модальная логика не может быть двухзначной», однако не сумел преодолеть традиции и выявить трехзначность аристотелевой силлогистики, чего ранее уже достиг поборник «эмансипации логики от влияния Аристотеля» Н.А.Васильев, в 1911 году преобразовавший логический квадрат A — I — O — E в треугольник противоположностей A — IO — E.

Этот треугольник и есть «три сосны», в которых заблудились логики 20-го века в попытках изобрести то, что в древности естественно и неопровержимо установил Аристотель. Изобретать вынуждала неадекватность двухзначной логики, в частности, невыразимость в ней сущности естественноязыкового (содержательного) следования. Первой, получившей значительный и все еще не угасший резонанс, была попытка Льюиса (1918 г.) устранить «парадоксы» материальной импликации, модифицировав аксиоматику классического исчисления высказываний. Но «строгая импликация» Льюиса оказалась тоже парадоксальной, да и неясно, что она такое, поскольку при помощи связок двухзначного исчисления определить конструктивно ее нельзя, а введенная в него «модальная функция самосовместимости-возможности» в свою очередь лишена определения.

Импликация Лукасевича (1920 г.) определена трехзначной таблицей истинности, но как заметил полвека спустя Слупецкий, смысл ее «довольно-таки неуловим». Сам Лукасевич впоследствии, признав трехзначное исчисление недостаточным, разработал четырехзначную модальную логику, однако именно его трехзначная импликация инициировала необыкновенную активность в области трехзначных логик и алгебр, в результате которой теперь имеется множество импликаций (интуиционистская Гейтинга, сильная и слабая Клини, внешняя и внутренняя Бочвара, Гёделя, Собочинского…), смысл которых столь же неуловим и, увы, не тождествен содержательному следованию. Это удивительное блуждание в трех соснах обусловлено тем, что ищут, не зная что. Операции определяются не путем воплощения подразумеваемого смысла, а либо формальным обобщением соответствующих двухзначных таблиц истинности, в частности, таблицы материальной импликации, истолкование которой в свою очередь проблематично, либо модификацией системы аксиом, например, изъятием закона исключенного третьего.

См. также

• Двоичная логика
• Булева алгебра
• Модальная логика
• Категорический силлогизм
• Троичная система счисления
• Сетунь (компьютер)

Ссылки

• Ресурс, посвященный троичной логике
• Практическое применение троичной логики и ее преимущества над двоичной
• сайт TernaryComp Брусенцова Hиколая Петровича
• сайт Зверева Геннадия Никифоровича, трилогика и ее приложения
• сайт посвященный троичной технике и троичной логике
• журнал NedoPC о троичной технике, NedoPC №3
• История Вычислительной машины Сетунь
• Н.П.Брусенцов. Заметки о троичной цифровой технике - часть 1
• Н.П.Брусенцов. Заметки о троичной цифровой технике - часть 2
• [http://web.archive.org/web/20120207161026/http://www.icfcst.kiev.ua/SYMPOSIUM/Proceedings/Brusentsov.doc Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А.,Маслов С.П.,Х.Рамиль Альварес. Опыт создания

троичных цифровых машин.]

• Тринари - троичная информатика, логика и цифровая техника
• Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность.
• "Троичный принцип" Николая Брусенцова
• троичный суммматор и его таблица истинности
• программа для построения и симуляции логических схем Аtanua
• Дмитрий Румянцев Долой биты! (Интервью с конструктором троичной ЭВМ Брусенцовым Н.П.)

Литература

• Брусенцов Н. П. «Блуждание в трех соснах (Приключения диалектики в информатике)» Москва, SvR — Аргус, 2000. — 16 с. и в сборнике: «Программные системы и инструменты»,Труды ф-та ВМиК МГУ, № 1, Москва: МАКС Пресс, 2000, с.13-23
• Васильев Н. И. Воображаемая логика. Избранные труды. — М.: «Наука», 1989.
• Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып.4. — М.: «Наука», 1997.
• Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: «Мир», 1973.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: ИЛ, 1959.
• Пиаже Ж. Логика и психология // Ж.Пиаже. Избранные психологические труды. — М.: «Просвещение», 1969.
• Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. — Казань, 1884.
• Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.
• Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: «Наука», 1967.
• Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. - 4-е изд.-М.: Политиздат, 1981. - 445 с.