4-сила

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики – напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса \( ~ p^\lambda \) по собственному времени \(~ \tau \) частицы: [1] $$ ~F^\lambda := \frac{dp^\lambda }{d\tau}. \qquad\qquad (1) $$

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0, \( ~ p^\lambda = M u^\lambda \), где \( ~ u^\lambda \) есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением \( ~ a^\lambda \) аналогично второму закону Ньютона: $$ ~F^\lambda = M a^\lambda = \left(\gamma {\mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \over c},\gamma {\mathbf {F}}\right) ,$$

где \( ~ \mathbf{v} \) есть классический 3-вектор скорости частицы, \( ~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\) – фактор Лоренца, \( ~ c \) – скорость света, $$~{\mathbf {F}}={d \over dt} \left( \gamma M {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{p} \over dt}= M \gamma \left(\mathbf{a} +\gamma^2 \frac{ (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} \mathbf{v} \right) = M \gamma^3 \left(\mathbf{a} +\frac{ \mathbf{v} \times [\mathbf{v} \times \mathbf{a}]}{c^2} \right) $$– 3-вектор силы, [2] \( ~ \mathbf{p} \) – 3-вектор релятивистского импульса, \( ~ \mathbf{a}= \frac {d \mathbf{v}}{dt} \) – 3-вектор ускорения, $$~\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}={d \over dt} \left(\gamma M c^2 \right)={dE \over dt},$$

\( ~ E \) – релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: [3] $$F^\lambda := \frac{Dp^\lambda }{D\tau} = \frac{dp^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}u^\mu p^\nu ,$$

где \( ~ \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu} \) – символ Кристоффеля.

Примеры[править]

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом \(~q\), выражается следующим образом: $$~ F^\lambda = q F^{\lambda \mu} u_\mu,$$

где \(~F^{\lambda \mu}\) – тензор электромагнитного поля, \(~u_\mu\) – 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы[править]

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды: $$ ~f^\lambda := \frac{dJ^\lambda }{d\tau}, \qquad\qquad (2) $$

где \( ~ J^\lambda = \rho_0 u^\lambda \) есть массовый 4-ток, \( ~ \rho_0 \) – плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения: $$ ~ u^\lambda = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right),$$ $$ ~f^\lambda = \left(\frac {\gamma }{c} \frac { d\varepsilon }{dt}, \gamma {\mathbf {f}}\right) ,$$

где \( ~ \mathbf{f} = {d \over dt} \left(\gamma \rho_0 {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{J} \over dt}\) – 3-вектор плотности силы, \( ~ \mathbf{J} \) – 3-вектор массового тока, \( ~ \varepsilon = \gamma \rho_0 c^2 \) – плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1): $$ ~\int {f^\lambda dV_0}= F^\lambda = \int {\frac{d(\rho_0 u^\lambda ) }{d\tau} dV_0} = \frac {d}{ d\tau } \int {\rho_0 u^\lambda dV_0} =\frac {d}{ d\tau } \int { u^\lambda dM} =\frac{dp^\lambda }{d\tau}. $$

4-сила в КТГ[править]

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна: $$~ F^\nu = M \Phi^{\nu \mu} u_\mu = \Phi^{\nu \mu} p_\mu ,$$

где \(~\Phi^{\nu \mu}\) – тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения, \(~p_\mu\) – 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы \(~M \) включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами \(~ \Phi_{rs} \) определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат: $$~ \Phi^{\nu \mu}= g^{\nu r} g^{s \mu } \Phi_{rs} .$$

Вследствие этого 4-сила \(~ F^\nu \), зависящая от метрического тензора через \(~ \Phi^{\nu \mu}\), также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики: $$~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu = \Phi_{\mu \nu} p^\nu.$$

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений: [4] , $$ ~f^\nu = - g^{\nu \mu } u_{\mu \lambda } J^\lambda = \nabla_\mu B^{\nu \mu}= \rho_0 \frac{ Du^\nu } {D \tau }= \rho_0 u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\rho_0 \frac{ du^\nu } {d \tau }+\rho_0 \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda = \rho_0 a^\nu , \qquad\qquad (3)$$

где \( ~ B^{\nu \mu}\) – тензор энергии-импульса поля ускорений, \(~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} \) – символ Кристоффеля, \(~ u_{\mu \lambda } \) – тензор ускорений, \( ~ a^\nu \) – 4-ускорение.

В приведённом выражении используется оператор производной по собственному времени \( ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu \), обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время. [2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение: $$ ~f^\nu = g^{\nu \lambda }\left(\Phi_{\lambda \mu } J^\mu + F_{\lambda \mu } j^\mu + f_{\lambda \mu } J^\mu \right) = -\nabla_\mu \left(U^{\nu \mu }+ W^{\nu \mu } + P^{\nu \mu } \right), \qquad\qquad (4) $$

где \(~ g^{\nu \lambda}\) – метрический тензор, \(~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu \) есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, \(~\rho_{0q} \) – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, \( ~ f_{\lambda \mu }\) – тензор поля давления, \( ~ U^{\nu \mu}\) – тензор энергии-импульса гравитационного поля, \( ~ W^{\nu \mu}\) – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, \( ~ P^{\nu \mu}\) – тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина \( ~ h^\lambda = \rho u^\lambda \), где \( ~ \rho \) – плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина \( ~ h^\lambda\) не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям \( ~ dM= \rho_0 dV_0=\rho dV \) и \( ~ dV dt = dV_0 d\tau \) получается следующее: $$ ~ \int {\frac {dh^\lambda}{ d\tau } dV}= \int {\frac{d(\rho u^\lambda ) }{d\tau} dV} = \frac {d}{ dt } \int {\rho u^\lambda dV_0}= \frac {d}{ dt } \int {\frac {dt}{ d\tau }u^\lambda dM}. $$

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину \( ~ \frac {dt}{ d\tau } \) за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта: $$ ~ \frac {d}{ d\tau } \int {u^\lambda dM}= F^\lambda . $$

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением \( ~ t^{\nu \lambda }= J^\nu u^\lambda \), и для него \( ~ h^\lambda = \frac {t^{0 \lambda }}{c} \), то есть величина \( ~ h^\lambda = \rho u^\lambda \) состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной \( ~ c \) ) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, [5] интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а из гамильтониана системы.

Компоненты плотности 4-силы[править]

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света. Чтобы не зависеть от метрического тензора, запишем (4) с нижним, ковариантным индексом: $$ ~ f_\lambda = \Phi_{\lambda \mu } J^\mu + F_{\lambda \mu } j^\mu + f_{\lambda \mu } J^\mu .$$

В данном выражении произведём замену: $$ ~ J^\mu = \rho_0 u^\mu = \rho_0 \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho \frac {dx^\mu }{dt} , $$ где \( ~ ds \) обозначает интервал, \( ~ dt \) есть дифференциал координатного времени, \( ~ \rho= \rho_0 \frac {cdt}{ds}\) – плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина \( ~ \frac {dx^\mu }{dt}=(c, \mathbf{v} ) \) состоит из временной компоненты, равной скорости света \( ~ c \), и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы \( ~ \mathbf{v} \).

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества \( ~ \rho_{q}= \rho_{0q} \frac {cdt}{ds}\): $$ ~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu = \rho_{0q} \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho_{q}\frac {dx^\mu }{dt}. $$

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим: $$ ~ f_0 = \frac {1}{ c }( \rho \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \rho_{q} \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+\rho \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} ) .$$

где \( ~ \mathbf{\Gamma } \) – напряжённость гравитационного поля, \( ~ \mathbf{E} \) – напряжённость электромагнитного поля, \( ~ \mathbf{ C} \) – напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида \( ~ - \mathbf{f}\), то есть 4-сила \( ~ f_\lambda = (f_0{,} -f_x{,}-f_y{,}-f_z), \)

при этом плотность 3-силы равна: $$ ~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma }+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \rho_{q}\mathbf{E}+ \rho_{q} [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] + \rho \mathbf{C}+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{I}],$$ где \( ~ \mathbf{\Omega}\) – поле кручения, \( ~ \mathbf{B}\) – индукция магнитного поля, \( ~ \mathbf{ I }\) – соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной 4-силы можно записать через компоненты тензора ускорений и ковариантное 4-ускорение. Аналогично (3) имеем: $$ ~f_\nu = \nabla^\mu B_{\nu \mu}= \rho_0 \frac{ Du_\nu } {D \tau }= \rho_0 u^\mu \nabla_\mu u_\nu =\rho_0 \frac{ du_\nu } {d \tau }- \rho_0 \Gamma^\lambda _{\mu \nu} u_\lambda u^\mu = - u_{\nu \lambda } J^\lambda =\rho_0 a_\nu ,$$ $$ ~f_0 = \rho_0 a_0 = - \frac {\rho }{ c } \mathbf{S} \cdot \mathbf{v},$$ $$ ~ \mathbf{f}= - \rho \mathbf{S} - \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] ,$$

где \( ~ a_0 \) – временная компонента 4-ускорения, \( ~ u_\nu \) – 4-потенциал поля ускорений, \( ~ \mathbf{S} \) – напряжённость поля ускорений, \( ~ \mathbf{ N }\) – соленоидальный вектор поля ускорений.

Отсюда 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через его скалярную и векторную компоненты: $$ ~ a_\nu = \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right).$$

В специальной теории относительности \( ~ \frac {cdt}{ds}= \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\) и подставляя значения \( ~ \mathbf{S} \) и \( ~ \mathbf{ N }\) для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение: $$~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }). $$ $$ ~ a_\nu = \gamma \left( \frac {d(\gamma c)}{dt}{,} \qquad - \frac {d(\gamma \mathbf{v}) }{dt} \right).$$

Если масса \(~ m \) частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать: $$~ \mathbf F= \frac {d \mathbf p }{dt}= m \frac {d (\gamma \mathbf v )}{dt}= -m \left(\mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right)= \nabla E + \frac {\partial \mathbf p }{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf p ] , $$

где \(~ E = \gamma m c^2 \) есть релятивистская энергия, \(~ \mathbf p = \gamma m \mathbf v \) – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы \( ~ \mathbf{S} \) и \( ~ \mathbf{ N }\) существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы \( ~ \mathbf{S} \) и \( ~ \mathbf{ N }\) становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951-5.
  2. а б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  4. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30, (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.

Внешние ссылки[править]