Уравнение диффузии

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Нестационарное уравнение[править]

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай[править]

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D уравнение имеет вид: $$\frac{\partial}{\partial t} c(x,t)=\frac{\partial}{\partial x} D \frac{\partial}{\partial x}{c(x,t)} + f(x,t).$$

При постоянном D приобретает вид: $$\frac{\partial}{\partial t} c(x,t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2} {c(x,t)} + f(x,t)$$

где c(x,t) – концентрация диффундирующего вещества, a f(x,t) - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай[править]

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид: $$ \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},t) = (\nabla, D \nabla c(\vec{r},t)) + f (\vec{r},t) , $$

а при постоянном D приобретает вид: $$ \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},t) = D \Delta c(\vec{r},t)+ f (\vec{r},t), $$

где \( \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \) — оператор Лапласа.

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией c(x,0)=δ(x) и граничном условии c(∞,t)=0) есть $$c(x,t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}} e^{-\frac{x^2}{4Dt}}$$

В этом случае c(x,t) можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время t перейдёт в пункт с координатой x. Тогда средний квадрат пройденного пути есть $$ = \int_{-\infty}^\infty x^2 c(x,t)dx = 2Dt $$

Такому параболическому закону подчиняется, например, рост окисных плёнок на поверхностях металлов при высоких температурах. Необходимым условием при этом является достаточное количество кислорода в окружающей среде.

В случае произвольного начального распределения \(c(x,0)\) общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка: $$c(x,t) = \int_{-\infty}^\infty c(x',0) \frac{1}{ \sqrt{4\pi D t}} \exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4 D t}\right)\,dx'$$

Частные замечания[править]

Вывод уравнений диффузии и теплопроводности основывается на классической физике, поэтому в них нет учёта квантовых и релятивистских эффектов. Последнее видно по фундаментальному решению уравнения, согласно которому вещество мгновенно распростаняется на сколь угодно большие расстояния.

Стационарное уравнение[править]

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные с временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид: $$ -(\nabla, D \nabla c(\vec{r})) = f (\vec{r}) , $$

Постановка краевых задач[править]

Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой[править]

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течении небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области \(- \infty \le x \le \infty\) и \(t \ge t_0\), удовлетворяющее условию \(u(x,t_0 ) = \varphi (x){\rm{ }} ~( - \infty < x < + \infty )\), где \(\varphi (x)\) — заданная функция.

Первая краевая задача для полубесконечного стержня[править]

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удален от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области \(- \infty \le x \le \infty\) и \(t \ge t_0\), удовлетворяющее условиям \(\begin{cases} u(x,t_0 ) = \varphi (x){\rm{ }} \> (0 < x < \infty ) \\ u(0,t) = \mu (t){\rm{ }} \> (t \ge t_0 ) \\ \end{cases}\), где \(\varphi (x)\) и \(\mu (t)\) — заданнные функции.

Краевая задача без начальных условий[править]

Если момент времени который нас интересует достаточно удален от начального, то имеет смысл принебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области \(0 \le x \le l\) и \( - \infty < t\), удовлетворяющее условиям \(\begin{cases} u(0,t) = \mu _1 (t) \\ u(l,t) = \mu _2 (t) \\ \end{cases}\), где \(\mu _1 (t)\) и \(\mu _2 (t)\) — заданнные функции.

Краевые задачи для ограниченного стержня[править]

Рассмотрим следущую краевую задачу:

\(u_t = a^2 u_{xx} + f(x,t),~~0 < x < l,~~0 < t \le T\) — уравнение теплопроводности. Если \(f(x,t) = 0\), то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

\(u(x,0) = \varphi (x),0 \le x \le l\) — начальное условие в момент времени \(t = 0\), температура в точке \(x\) задается функцией \(\varphi (x)\)

\(\begin{cases} u(0,t) = \mu _1 (t),0 \le t \le T \\ u(l,t) = \mu _2 (t),0 \le t \le T \\ \end{cases}\) — краевые условия. Функции \(\mu _1 (t)\) и \(\mu _2 (t)\) задают значение температуры в граничных точка 0 и \(l\) в любой момент времени \(t\).

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай при \(\alpha _i^2 + \beta _i^2 \ne 0,~~(i = 1,2)\).

\(\begin{cases} \alpha _1 u_x (0,t) + \beta _1 u(0,t) = \mu _1 (t) \\ \alpha _2 u_x (l,t) + \beta _2 u(l,t) = \mu _2 (t) \\ \end{cases}\)

Если \(\alpha _i=0,~~ (i=1,2)\), то такое условие называют условием первого рода, если \( \beta _i = 0,~~(i = 1,2)\) — второго рода, а если \(\alpha _i\) и \(\beta _i\) отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Способы решения уравнений теплопроводности[править]

Метод разделения переменных[править]

Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями[править]

Рассмотрим следующую задачу

\( \begin{array}{l} ~~u_t = a^2 u_{xx} ~~0 < x < l,0 < t \le T \\ ~~u(x,0) = \varphi (x)~~0 \le x \le l \\ \left\{ u(0,t) = 0; u(l,t) = 0 \right\} ~~0 \le t \le T \\ \end{array} \)
Требуется найти функцию \(~u(x,t)\) для \(\forall (x,t):~0 \le x \le l,0 \le t \le T\).

Представим искомую функцию в виде произведения $$~u(x,t) = X(x)T(t).$$
Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим $$~X(x)T'(t) = a^2 X''(x)T(t).$$ Разделим выражение на \(~a^2 X(x)T(t)\): $$\frac{1}{{a^2 }}\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = - \lambda,~\lambda = const.$$
Так в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от t, а в правой - только от x, то фиксируя любое значение x в правой части получаем, что для любого t значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, т.е. равна некой константе \(~-\lambda\) (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:

$$ \begin{array}{l} X''(x) + \lambda X(x) = 0 \\ T'(t) + a^2 \lambda T(t) = 0 \\ \end{array} $$

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

$$ \begin{array}{l} u(0,t) = X(0)T(t) = 0 \\ u(l,t) = X(l)T(t) = 0 \\ \end{array} ,$$

откуда \(~X(0) = X(l) = 0\) (\(~T(t) \ne 0\), т.к. в противном случае мы имели бы решение \(~u(x,t) = 0\), а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма-Лиувилля: $$ \begin{array}{l} X''(x) + \lambda X(x) = 0 \\ X(0) = 0 \\ X(l) = 0 \\ \end{array} $$

Ее решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трех случаев:

  1. \(~\lambda < 0\)
    В этом случае общий вид решения будет следующим: $$X(x) = C_1 e^{\sqrt { - \lambda } x} + C_2 e^{ - \sqrt { - \lambda } x}.$$ Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет \(X(x) \equiv 0\), а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.
  2. \(~\lambda = 0\)
    Общий вид решения

    \(~X(x) = C_1 x + C_2\).

    Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.

  3. \(~\lambda > 0\)
    Общий вид решения $$~X(x) = C_1 \cos (\sqrt \lambda x) + C_2 \sin (\sqrt \lambda x).$$ Подставим граничные условия: $$ \begin{array}{l} X(0) = C_1 = 0 \\ X(l) = C_2 \sin (\sqrt \lambda l) = 0 \\ \end{array} $$ Т.к. мы ищем только нетривиальные решения, \(~C_2 = 0\) нам не подходит, следовательно $$ \begin{array}{l} \sin (\sqrt \lambda l) = 0 \\ \sqrt \lambda l = \pi n,~~n = 1,2...\\ \end{array} $$ $$ \lambda _n = \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2,~~n = 1,2... $$ Отсюда $$ X_n (x) = C_n\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right),~~n = 1,2... $$

C учетом найденных \(~\lambda\), выведем общее решение линейного дифференциального уравнения $$ T '(t) + a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 T (t) = 0 .$$ Должен получиться ответ $$ T_n (t) = D_n e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} ,~~D_n = const $$

Теперь все готово для того, чтобы записать решение исходной задачи: $$ u_n (x,t) = X_n (x)T_n (x) = C_n\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} ,~~n = 1,2... $$ В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно-независимы, т.е. линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по n от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи. $$ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {u_n (x) = } \sum\limits_{n = 1}^\infty {C_n\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} } $$ Осталось определить значение константы C (зависящей от n) из начального условия $$ u(x,0) = \varphi (x) $$ Для того, чтобы определить значение \(C_n\), необходимо разложить функцию \(\varphi (x)\) в ряд Фурье: $$ \begin{array}{l} \varphi (x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {A_n \sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)} \\ A_n = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {\varphi (\xi )\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}\xi } \right)} d\xi \\ \end{array} $$ Получаем: $$ \begin{array}{l} u(x,0) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {C_n \sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {A_n \sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)} \\ C_n = A_n = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {\varphi (\xi )\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}\xi } \right)} d\xi \\ \end{array} $$ Откуда общее решение: $$ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{l}\int\limits_0^l {\varphi (\xi )\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}\xi } \right)} d\xi } \right)\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} } $$ В курсе математической физики доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, т.е. функция \(~u(x,t)\) дифференцируема (и ряд сходится равномерно), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.

Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями[править]

Рассмотрим способ решения неоднородного уравнения: $$ \begin{array}{l} ~ u_t = a^2 u_{xx} 0 + f(x,t),~~0< x < l,0 < t \le T \\ ~ u(x,0) = 0,~~0 \le x \le l \\ \left. \begin{array}{l} u(0,t) = 0 \\ u(l,t) = 0 \\ \end{array} \right\}~0 \le t \le T \\ \end{array} $$ Пусть $$ \begin{array}{l} u_n (x,t) = X_n (x)T_n (t) \\ f_n (x,t) = X_n (x)F_n (t) \\ X_n (x) = \sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right) \\ \end{array} .$$ Тогда, пользуясь очевидным соотношением \(X''_n (x) = - \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 X_n (x)\), перепишем исходное уравнение: $$ \begin{array}{l} X_n (x)T'_n (t) = - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 X_n (x)T_n (t) + X_n (x)F_n (t) \\ T'_n (t) = - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 T_n (t) + F_n (t) \\ \end{array} .$$ Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного линейного уравнения $$ \begin{array}{l} T'_n (t) = - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 T_n (t) \\ T_n (t) = De^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} \\ \end{array} $$ В общем решении заменим постоянную D на переменную D(t) и подставим в исходное уравнение. $$ \begin{array}{l} T_n (t) = D(t)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} \\ D'_n (t)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} D_n (t) = - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} D_n (t) + F_n (t) \\ D'_n (t)e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} = F_n (t) \\ D_n (t) = \int {F_n (t)} e^{a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} dt \\ T_n (t) = A_n e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} + e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} \int {F_n (t)} e^{a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 t} dt \\ \end{array} $$ Из начального условия получаем: $$ \begin{array}{l} u_n(x,0) = X_n(x)T_n(0) = 0 \\ T_n(0) = 0 \\ \end{array} $$ С учетом условия для T, получаем $$ T_n (t) = \int\limits_0^t {e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 \left( {t - \tau } \right)} } F_n (\tau )d\tau $$ Так как $$ f_n (x,t) = X_n (x)F_n (t) = \sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)F_n (t) ,$$ то \(~F_n(t)\), очевидно, является коэффициентом ряда фурье, и равен $$ F_n (t) = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {f(\xi ,t)\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}\xi } \right)} d\xi .$$ В результате, общая формула такова: \( u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {X_n (x)T_n (t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\int\limits_0^t {e^{ - a^2 \left( {\frac{{\pi n}}{l}} \right)^2 \left( {t - \tau } \right)} } \left\{ {\frac{2}{l}\int\limits_0^l {f(\xi ,\tau )\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}\xi } \right)d\xi } } \right\}d\tau } \right]\sin \left( {\frac{{\pi n}}{l}x} \right)} } \)

Общая первая краевая задача[править]

Во многих случаях удается решить уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями $$ \begin{array}{l} u_t = a^2 u_{xx} + f(x,t) \\ u(x,0) = \varphi (x) \\ u(0,t) = \mu _1 (t) \\ u(l,t) = \mu _2 (t) \\ \end{array} $$ с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приема. Представим искомую функцию в виде суммы: $$ \begin{array}{l} u(x,t) = \tilde u(x,t) + U(x,t) \\ \tilde u(x,0) = u(x,0) - U(x,0) = \varphi (x) - U(x,0) \\ \tilde u(0,t) = 0 \\ \tilde u(l,t) = 0 \\ \end{array} $$ Найдем функцию \(~U(x,t)\): $$ \begin{array}{l} U(x,t) = Ax + b \\ U(0,t) = b = \mu _1 (t) \\ U(l,t) = Al + \mu _1 = \mu _2 \Rightarrow A = \frac{{\mu _2 (t) - \mu _1 (t)}}{l} \\ U(x,t) = \frac{{\mu _2 (t) - \mu _1 (t)}}{l}x + \mu _1 (t) \\ \end{array} $$ Таким образом, исходная задача свелась к следующей: $$ \begin{array}{l} \tilde u_t = a^2 \tilde u_{xx} + f(x,t) - \frac{{\mu _2 ^\prime (t) - \mu _1 ^\prime (t)}}{l}x - \mu _1 ^\prime (t) \\ \tilde u(x,0) = \varphi (x) - \frac{{\mu _2 (0) - \mu _1 (0)}}{l}x - \mu _1 (0) \\ \tilde u(0,t) = 0 \\ \tilde u(l,t) = 0 \\ \end{array} $$ После того, как мы найдем функцию \(~\tilde u (x,t)\), искомую функцию найдем по формуле $$ u(x,t) = \tilde u(x,t) + \frac{{\mu _2 - \mu _1 }}{l}x + \mu _1 $$