Уравнение векторного поля

Уравнение векторного поля представляет собой уравнение, связывающее 4-потенциал или тензор поля с источником поля в виде соответствующего 4-тока или тензора. Благодаря представлению в тензорной форме, уравнения поля выражаются в ковариантном виде и действительны в искривлённом пространстве-времени.

К векторным полям относятся такие поля, как электромагнитное поле, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, макроскопическое поле сильного взаимодействия, макроскопическое поле слабого взаимодействия. В рамках ковариантной теории гравитации гравитационное поле также считается векторным полем.

Все эти поля могут рассматриваться как компоненты общего поля, представленные в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы соответствующим членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. Релятивистская однородная система является примером физической системы, в которой уравнения полей имеют полное и точное решение для всех векторных полей.

Виды уравнений

Стандартным уравнением поля является дифференциальное уравнение, выводимое с помощью принципа наименьшего действия. Как правило, такое уравнение содержит ковариантную производную, действующую на тензор поля. Вторая ковариантная производная превращает уравнение поля в волновое уравнение для тензора поля. Если тензор поля выражается через 4-потенциал, то уравнение поля может быть преобразовано в волновое уравнение для 4-потенциала.

Уравнение движения частиц вещества можно считать такой разновидностью уравнений поля, в которой поля действуют на источники поля и приводят их в движение.

Обобщённая теорема Пойнтинга задаёт баланс энергии и импульса в любой точке системы, и формулируется как тензорное калибровочное условие в виде равенства нулю дивергенции суммарного тензора энергии-импульса всех полей, действующих в системе. Точно так же существует уравнение непрерывности как калибровочное условие для 4-токов, когда равенство нулю дивергенции массового и зарядового 4-токов в виде $~ \nabla_\mu J^\mu = 0$ и $~ \nabla_\mu j^\mu = 0$ задаёт локальный баланс массы и заряда в каждой точке. Это означает, что плотность массы (заряда) в некотором единичном объёме изменяется либо при возникновении массового (зарядового) потока из этого объёма, либо при изменении метрики в данном объёме.

Уравнение для метрики получается при варьировании функции действия по метрическому тензору и содержит тензор Риччи, скалярную кривизну, космологическую константу и тензоры энергии-импульса полей. Результатом решения уравнения являются компоненты метрического тензора как функции времени и координат.

Теорема энергии поля выражается через интегральное уравнение энергии поля, обобщает теорему вириала в отношении полей и представляет её в искривлённом пространстве-времени.

Интегральные уравнения поля получаются путём интегрирования стандартных уравнений поля по четырёхмерному пространству-времени. Это позволяет сформулировать несколько теорем в отношении компонент тензоров и 4-потенциалов полей, и определить ряд новых величин, характеризующих систему в целом.

Стандартные уравнения

Каждое векторное поле описывается двумя уравнениями, одно из которых содержит источники поля, а другое накладывает ограничения на вид поля независимо от источников поля.

Уравнения электромагнитного поля: $$~ \nabla_\nu F^{\mu \nu} = - \mu_0 j^\mu,$$ $$\nabla_\sigma F_{\mu \nu}+ \nabla_\mu F_{\nu \sigma}+ \nabla_\nu F_{\sigma \mu} = 0 ,$$

где $F_{\mu \nu}$ — тензор электромагнитного поля, $j^\mu = \rho_{0q} u^\mu$ — зарядовый 4-ток, $\rho_{0q}$ — плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, $u^\mu$ — 4-скорость движения элемента вещества, $~ \mu_0$ — магнитная постоянная, $~ c$ — скорость света.

Последнее уравнение может быть записано через дуальный тензор электромагнитного поля: $$~ \nabla_\beta \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0,$$

где $~ \tilde{F}^{\alpha \beta} = \frac {1}{2} \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta } F_{\gamma \delta },$ и используется символ Леви-Чивиты $~ \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta }.$

Уравнения гравитационного поля: $$~ \nabla_\nu \Phi^{\mu \nu} = \frac{4 \pi G }{c^2} J^\mu,$$ $$\nabla_\sigma \Phi_{\mu \nu}+ \nabla_\mu \Phi_{\nu \sigma}+ \nabla_\nu \Phi_{\sigma \mu} = 0 ,$$

где $\Phi_{\mu \nu}$ — тензор гравитационного поля, $J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ — массовый 4-ток, $\rho_{0}$ — плотность массы вещества в сопутствующей системе отсчёта, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ c$ — скорость света как скорость гравитации и предельная скорость распространения гравитационного возмущения.

Уравнения поля ускорений: $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu,$$ $$\nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}= 0,$$

где $u_{\mu \nu}$ — тензор ускорений, $~ \eta$ — постоянная поля ускорений, определяемая в каждой задаче.

Уравнения поля давления: $$~ \nabla_\nu f^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J^\mu,$$ $$\nabla_\sigma f_{\mu \nu}+\nabla_\mu f_{\nu \sigma}+\nabla_\nu f_{\sigma \mu}= 0,$$

где $f_{\mu \nu}$ — тензор поля давления, $~ \sigma$ — постоянная поля давления.

Уравнения поля диссипации: $$~ \nabla_\nu h^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \tau }{c^2} J^\mu,$$ $$\nabla_\sigma h_{\mu \nu}+\nabla_\mu h_{\nu \sigma}+\nabla_\nu h_{\sigma \mu}= 0,$$

где $h_{\mu \nu}$ — тензор поля диссипации, $~ \tau$ — постоянная поля диссипации.

Волновые уравнения

В волновых уравнениях источниками полей являются массовые и зарядовые 4-токи, так что при движении масс и зарядов наблюдаются волновые явления в распространении потенциалов и напряжённостей полей в пространстве-времени. В результате каждое волновое уравнение содержит четырёхмерный скалярный оператор Д’Аламбера $~ \nabla^\nu \nabla_\nu,$ который может действовать как на 4-потенциал, так и на тензор поля. В ряде случаев решение волновых уравнений оказывается проще, чем решение уравнений полей, позволяя напрямую найти потенциалы полей, входящие в 4-потенциалы.

Волновые уравнения для 4-потенциалов указанных выше полей имеют следующий вид: $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu A_\mu + R_{\mu \nu} A^\nu = \mu_0 j_\mu,$$ $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu D_\mu + R_{\mu \nu} D^\nu = -\frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu,$$ $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu + R_{\mu \nu} U^\nu = \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu,$$ $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu \pi_\mu + R_{\mu \nu} \pi^\nu = \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu,$$ $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu \lambda_\mu + R_{\mu \nu} \lambda^\nu = \frac{4 \pi \tau }{c^2} J_\mu,$$

где $~ A_\mu$ — 4-потенциал электромагнитного поля, $~ R_{\mu \nu}$ — тензор Риччи, $~ D_\mu$ — гравитационный 4-потенциал, $~ U_\mu$ — 4-потенциал поля ускорений, $~ \pi_\mu$ — 4-потенциал поля давления, $~ \lambda_\mu$ — 4-потенциал поля диссипации.

Компоненты 4-потенциалов полей не являются произвольными функциями и подлежат калибровке. В калибровке Лоренца дивергенции 4-потенциалов равны нулю: $$~ \nabla_\mu A^\mu = 0, \qquad \nabla_\mu D^\mu = 0, \qquad \nabla_\mu U^\mu = 0, \qquad \nabla_\mu \pi^\mu = 0, \qquad \nabla_\mu \lambda^\mu = 0.$$

Если в стандартных уравнениях полей взять дивергенцию от обеих частей уравнений и применить калибровку Лоренца, возникают калибровочные условия и для теноров полей: $$~ R_{\mu \nu } F^{\mu \nu }= 0, \qquad R_{\mu \nu } \Phi^{\mu \nu }= 0, \qquad R_{\mu \nu } u^{\mu \nu }= 0, \qquad R_{\mu \nu } f^{\mu \nu }= 0, \qquad R_{\mu \nu } h^{\mu \nu }= 0.$$

Волновые уравнения для тензоров полей: $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma F_{\mu \nu }= \mu_0 \nabla_\mu j_\nu - \mu_0 \nabla_\nu j_\mu + F_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - F_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } F^{\eta \lambda},$$ $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma \Phi_{\mu \nu }= - \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu + \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + \Phi_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - \Phi_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } \Phi^{\eta \lambda},$$ $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma u_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + u_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - u_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } u^{\eta \lambda},$$ $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma f_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \sigma }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \sigma }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + f_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - f_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } f^{\eta \lambda},$$ $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma h_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \tau }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \tau }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + h_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - h_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } h^{\eta \lambda},$$

где $~ R_{\mu \nu, \lambda \eta }$ — тензор кривизны.

Уравнение движения

Уравнение движения частиц вещества можно выразить через тензоры полей: $$~ - u_{\mu \nu} J^\nu = \rho_0 \frac{ dU_\mu } {d \tau }- J^\nu \partial_\mu U_\nu = F_{\mu \nu} j^\nu + \Phi_{\mu \nu} J^\nu + f_{\mu \nu} J^\nu + h_{\mu \nu} J^\nu + \gamma_{\mu \nu} J^\nu + w_{\mu \nu} J^\nu .$$

Здесь $~ \gamma_{\mu \nu}$ — тензор поля сильного взаимодействия, $~ w_{\mu \nu}$ — тензор поля слабого взаимодействия. Тензор поля ускорений может быть выражен через 4-потенциал в виде $~ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu U_\nu - \nabla_\nu U_\mu = \partial_\mu U_\nu - \partial_\nu U_\mu .$ Последующее применение оператора производной по собственному времени позволяет привести левую часть уравнения к виду, напоминающему уравнение движения в классической механике.

Первый член в правой части задаёт плотность электромагнитной силы Лоренца в четырёхмерном виде, второй член есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, третий член описывает плотность силы давления, плотности сил от остальных полей также представлены через соответствующие тензоры и массовый 4-ток. Вся сумма в правой части уравнения движения есть плотность общей 4-силы, действующей в системе.

В уравнении движения тензоры всех полей могут быть выражены через соответствующие 4-потенциалы. Для четырёх действующих в системе полей это даёт следующее: $$~ \frac{ d (U_\mu + D_\mu + \pi_\mu)} {d \tau } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } \frac{ d A_\mu} {d \tau } = u^\nu \partial_\mu U_\nu + u^\nu \partial_\mu D_\nu + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } u^\nu \partial_\mu A_\nu + u^\nu \partial_\mu \pi_\nu .$$

Обобщённая теорема Пойнтинга

Тензор $~ T_{ik}$ энергии-импульса системы является суммой тензоров отдельных компонент общего поля: $$~ T_{ik}= W_{ik}+ U_{ik}+ B_{ik}+ P_{ik} + Q_{ik}+ L_{ik}+ A_{ik},$$

где $~ W_{ik}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ U_{ik}$ — тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ B_{ik}$ — тензор энергии-импульса поля ускорений, $~ P_{ik}$ — тензор энергии-импульса поля давления, $~ Q_{ik}$ — тензор энергии-импульса поля диссипации, $~ L_{ik}$ — тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, $~ A_{ik}$ — тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Обобщённая теорема Пойнтинга записывается как равенство нулю дивергенции тензора энергии-импульса общего поля: $$~ \nabla_\beta T^{\alpha \beta} = \frac {1}{ \sqrt {-g}} \partial_\beta \left( \sqrt {-g} T^{\alpha \beta} \right) + \Gamma^{\alpha }_{ \mu \nu} T^{ \mu \nu } = 0 ,$$

где $~ \Gamma^{\alpha }_{ \mu \nu}$ есть символ Кристоффеля.

Полученное выражение для пространственных компонент данного уравнения в веществе системы задаёт баланс энергии и импульса полей, и есть не что-иное, как записанное в ковариантной форме дифференциальное уравнение движения вещества под действием сил, генерируемых полями. За пределами вещества равенство нулю пространственных компонент данного уравнения означает, что изменение потоков электромагнитного и гравитационного полей происходит только при наличии пространственных градиентов соответствующих компонент тензоров энергии-импульса данных полей. Что касается временных компонент уравнения, то для них обобщённая теорема Пойнтинга задаёт баланс энергии и потоков энергии всех полей в любом выделенном объёме системы.

При этом имеется различие между суммарной плотностью энергии всех полей в некоторой точке, и плотностью релятивистской энергии в этой точке, так как релятивистская энергия учитывает ещё энергию частиц и вычисляется другим путём, не через тензор $~ T^{\alpha \beta}$ энергии-импульса системы. Соответственно, теорема Пойнтинга относится к локальным скоростям изменения энергии полей во времени и скоростям изменения потоков энергии в пространстве, а закон сохранения энергии-импульса имеет дело с энергией и импульсом и полей и частиц системы. Релятивистская энергия системы в системе центра импульсов задаёт инвариантную энергию, равную произведению инертной массы на квадрат скорости света. Тем самым сохранение энергии в замкнутой системе приводит и к сохранению инертной массы системы. Существует ещё гравитационная масса системы, которая определяется по гравитационному взаимодействию с другими телами (например, при взвешивании), и в ковариантной теории гравитации гравитационная масса оказывается больше инертной массы. Различие масс вытекает из того, что гравитационная масса определяется не через релятивистскую энергию или импульс, а через сумму инвариантных масс всех частиц системы. В замкнутой системе нет обмена частицами вещества, энергией и информацией с окружающей средой, и потому гравитационная масса также сохраняется.

Обобщённую теорему Пойнтинга можно представить в интегральном виде. Интегрируя $~ \nabla_\beta T^{\alpha \beta}$ по ковариантному 4-объёму и учитывая теорему о дивергенции, находим: $$~ \int {\partial_\beta \left( \sqrt {-g} T^{\alpha \beta} \right) dx^0 dx^1 dx^2 dx^3} = \int { T^{\alpha \beta} \sqrt {-g} d S_\beta } = \int \limits_V { T^{\alpha 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} +$$ $$~ + c \int { \left ( \int { T^{\alpha 1} \sqrt {-g} dx^2 dx^3} \right ) dt }+ c \int { \left ( \int { T^{\alpha 2} \sqrt {-g} dx^1 dx^3} \right ) dt } + c \int { \left ( \int { T^{\alpha 3} \sqrt {-g} dx^1 dx^2} \right ) dt }.$$

С учётом этого получается: $$~ \int {\nabla_\beta T^{\alpha \beta} \sqrt {-g} dx^0 dx^1 dx^2 dx^3} = \int \limits_V { T^{\alpha 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} + c \int { \left( \oint \limits_S { T^{\alpha j} n_j \sqrt {-g} dS } \right) dt}+ c \int {\left( \int {\Gamma^{\alpha }_{ \mu \nu} T^{ \mu \nu } \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) dt} =0.$$ $$~ \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int \limits_V { T^{\alpha 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} = - \oint \limits_S { T^{\alpha j} n_j \sqrt {-g} dS } - \int \limits_V {\Gamma^{\alpha }_{ \mu \nu} T^{ \mu \nu } \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}.$$

Здесь $~ j = 1,2,3 ,$ а вектор $~ n_j$ есть единичный трёхмерный вектор нормали, направленный наружу двумерной поверхности $~ S$, окружающей произвольно выбранный объём $~ V$ в рассматриваемой системе.

Уравнение для метрики

Уравнение для метрики записывается через тензор $~ T^{ik}$: $$~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} T^{ik},$$

где $~ R^{ik}$ — тензор Риччи, $~ R$ — скалярная кривизна, $~ g^{ik}$ — метрический тензор, $~ \beta$ — некоторая постоянная.

В теории векторных полей калибруются все 4-векторы и тензоры, включая 4-токи, 4-потенциалы и тензоры полей. Например, калибровка 4-скорости имеет вид: $~ g_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = u_\nu u^\nu = c^2.$ Применяя здесь производную по собственному времени, приходим к калибровке 4-ускорения: $~ a_\mu u^\mu = 0,$ где 4-ускорение есть $~ a_\mu = \frac {D u_\mu}{D \tau}.$ Для калибровки 4-импульса имеем: $~ g_{\mu \nu} p^\mu p^\nu = p_\nu u^\nu = m c^2$, где $~ m$ есть инерциальная масса системы.

Калибровка 4-перемещения: $~ g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu = dx_\nu dx^\nu = ds^2 ,$ где $~ ds$ — четырёхмерный пространственно-временной интервал. Калибровка метрического тензора: $~ g^{\mu \nu} g_{\nu \lambda} = \delta^\mu_\lambda$, $~ g^{\mu \nu} g_{\nu \mu} = \delta^\mu_\mu =4 ,$ где $~ \delta^\mu_\lambda$ — символ Кронекера.

Не является исключением и тензор кривизны, из которого с помощью свёртки с метрическим тензором вначале получается тензор Риччи, а затем и скалярная кривизна. Условие калибровки скалярной кривизны выглядит так: $~ \nabla_\mu R = 0.$ Калибруется и космологическая постоянная $~ \Lambda$ в следующем виде: $~ R = 2 \Lambda .$ Это позволяет избавиться единственно возможным способом в выражении для релятивистской энергии как от скалярной кривизны, так и от космологической постоянной.

Теорема энергии поля

Теорема энергии поля для электромагнитного поля имеет следующий вид: $$~ - \int {(2 \mu_0 A_\alpha j^\alpha + F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { A^\alpha F_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {A^\alpha F_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} ,$$

где $~ \mu_0$ есть магнитная постоянная; $~ A_\alpha$ — электромагнитный 4-потенциал; $~ j^\alpha$ — электромагнитный 4-ток; $~ F_{\alpha \beta}$ — тензор электромагнитного поля; $~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3$ — элемент инвариантного объёма, выражаемый через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком; $~ c$ — скорость света; последний интеграл в правой части есть поверхностный интеграл второго рода по двумерной поверхности $~ S$, окружающей рассматриваемый объём; $~ n_k$ — трёхмерный вектор нормали к поверхности $~ S$, направленный наружу.

Аналогично получается для гравитационного поля, поля ускорений и поля давления: $$~ - \int { \left( - \frac {8 \pi G}{c^2} D_\alpha J^\alpha + \Phi_{\alpha \beta} \Phi^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$ $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \eta }{c^2} U_\alpha J^\alpha + u_{\alpha \beta} u^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { U^\alpha u_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {U^\alpha u_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$ $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \sigma }{c^2} \pi_\alpha J^\alpha + f_{\alpha \beta} f^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { \pi^\alpha f_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {\pi^\alpha f_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$

Представленные выше выражения являются интегральными уравнениями, связывающими между собой 4-потенциалы, 4-токи и тензоры соответствующих полей.

Интегральные уравнения

Для электромагнитного поля интегральные уравнения в искривлённом пространстве-времени были рассмотрены в статье.

Интегрирование стандартного уравнения электромагнитного поля по четырёхмерному объёму и применение теоремы о дивергенции даёт следующее уравнение: $$~ \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int \limits_V { F^{ \alpha 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } + \int { F^{\alpha 1} \sqrt {-g} dx^2 dx^3 } + \int { F^{\alpha 2} \sqrt {-g} dx^3 dx^1 } + \int { F^{\alpha 3} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 } = - \mu_0 \int \limits_V { j^\alpha \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } . \quad (1)$$

Для индекса $~ \alpha = 0$ с учётом равенства $~ j^0 = \rho_0 u^0$ из (1) получается теорема Гаусса в ковариантной записи: $$~ \int \limits_S { F^{0 k} \sqrt {-g} dS_k} = - \frac { \Phi_E }{c} = - \mu_0 \int \limits_V { \rho_0 u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = - c \mu_0 q ,$$

где $~ dS_k = dS^{ij} = dx^i dx^j$ есть ортонормированный элемент двумерной поверхности, окружающей заряд $~ q$; $~ \Phi_E = c \int \limits_S { F^{k 0} \sqrt {-g} dS_k}$ представляет собой поток электрического поля через замкнутую поверхность; циклически повторяющиеся трёхмерные индексы $~ i, j, k =1,2,3$ и не совпадают друг с другом.

Пусть теперь в (1) индексы $~ \alpha = i =1,2,3$: $$~ \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int \limits_V { F^{ i 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } + \iint \limits_S { F^{i k} \sqrt {-g} dS_k} = - \mu_0 \int \limits_V { j^i \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } .$$

Данное уравнение справедливо для любого трёхмерного объёма $~ V$ и окружающей его двумерной поверхности $~ S$. Если рассечь объём $~ V$ некоторой плоскостью перпендикулярно оси $~ OX$, то при индексе $~ i =1$ от интегрирования по $~ V$ и $~ S$ можно перейти к интегрированию по площади сечения и по контуру этого сечения: $$~ \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int { F^{ 1 0} \sqrt {-g} dx^2 dx^3 } + \int { F^{12} \sqrt {-g} dx^3 } - \int { F^{13} \sqrt {-g} dx^2 }= - \mu_0 \int { j^1 \sqrt {-g} dx^2 dx^3 } .$$

Полученное ковариантное выражение представляет теорему о циркуляции магнитного поля, а $~ \Phi_E = c \int { F^{1 0} \sqrt {-g} dx^2 dx^3 }$ можно считать здесь потоком электрического поля через поверхность сечения в направлении оси $~ OX$. Отсюда следует, что циркуляция магнитного поля в контуре возникает не только благодаря изменению со временем потока электрического поля через контур, но появляется и при изменении площади контура при неизменном электрическом поле.

Интегрирование уравнения электромагнитного поля с дуальным тензором электромагнитного поля по четырёхмерному объёму с учётом теоремы о дивергенции приводит к следующему уравнению: $$~ \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int \limits_V { \tilde{F}^{ \alpha 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } + \int { \tilde{F}^{\alpha 1} \sqrt {-g} dx^2 dx^3 } + \int { \tilde{F}^{\alpha 2} \sqrt {-g} dx^3 dx^1 } +\int { \tilde{F}^{\alpha 3} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 } = 0. \quad (2)$$

Отсюда при индексе $~ \alpha = 0$ с учётом компонент дуального тензора получается теорема Гаусса для магнитного поля: $$~ - \iint \limits_S {g (B_x dy dz +B_y dz dx + B_z dx dy) }= -\oint \limits_S {g \mathbf {B \cdot n} dS} = \Phi = 0 ,$$

где ковариантная величина $~ \Phi = -\oint \limits_S {g \mathbf {B \cdot n} dS}$ есть поток магнитного поля через замкнутую поверхность.

Если положить в уравнении (2) индекс $~ \alpha = 1$, то при рассечении рассматриваемого объёма плоскостью, перпендикулярной оси $~ OX$, для полученного сечения и окружающего его контура получается уравнение: $$~ - \oint \limits_\ell {g \mathbf {E \cdot}d \mathbf r }= \varepsilon = \frac {d}{dt}\iint \limits_S {g \mathbf {B \cdot n} dS} = -\frac {d \Phi }{dt} .$$

Это интегральное уравнение представляет собой теорему о циркуляции электрического поля и закон электромагнитной индукции Фарадея в ковариантной форме, где величина $~ \Phi = -\iint \limits_S {g \mathbf {B \cdot n} dS}$ есть магнитный поток через поверхность $~ S$, ограниченную проводящим контуром $~ \ell$, а величина $~ \varepsilon = - \oint \limits_\ell {g \mathbf {E \cdot}d \mathbf r }$ есть электродвижущая сила.

Если 4-потенциал электромагнитного поля с контравариантным индексом записать через компоненты в виде $~ A^\mu = (A^0, A^1, A^2, A^3)$, и обозначить поток векторного потенциала по замкнутой двумерной поверхности так $$~ \Phi_A = \int { A^1 \sqrt {-g} dx^2 dx^3} + \int { A^2 \sqrt {-g} dx^3 dx^1} + \int { A^3 \sqrt {-g} dx^1 dx^2},$$

то будет справедливо уравнение $$~\Phi_A = - \frac {1}{c} \frac {d}{dt} \int \limits_V { A^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } ,$$

означающее, что при изменении со временем объёмного интеграла от скалярного потенциала появляется поток векторного потенциала.

Интегральные уравнения, подобные приведённым выше для электромагнитного поля, должны быть справедливы и для других векторных полей.

См. также

• Общее поле
• Поле ускорений
• Поле давления
• Поле диссипации
• Ковариантная теория гравитации
• 4-сила
• Теорема энергии поля
• Теорема Федосина

Внешние ссылки

• Equation of vector field